Generación en un grupo frente a generación en su abelianización.

Question

Fondo

En mi investigación he pasado mucho tiempo con subconjuntos de grupos que están muy cerca de ser conjuntos generadores. Para precisar esto:

Sea $G$ sea un grupo. Si un subconjunto $S$ de $G$ se proyecta sobre un conjunto generador de $G/[G,G]$ decimos que $S$ genera débilmente $G$ . El siguiente hecho (véase la página 350 de este libro para una prueba) muestra que la generación débil en grupos nilpotentes es una condición fuerte.

Es un hecho. Sea $G$ sea un grupo nilpotente. Si $S$ genera débilmente $G$ entonces $S$ genera $G$ .

A la luz de este resultado, nos planteamos la siguiente pregunta:

¿Existe un grupo finitamente presentado pero no nilpotente $G$ tal que todo subconjunto débilmente generador de $G$ genera $G$ ?

Si eliminamos la condición "finitamente presentado", entonces basta con el primer grupo de Grigorchuk. Me sorprendería mucho que no existieran ejemplos finitamente presentados.

Grupos de superficies y grupos libres

En respuesta a la pregunta de Matt Para el grupo libre $F(a,b)$ el conjunto $\{a[[a,b],a],b \}$ genera débilmente pero no genera (se puede demostrar esto directamente usando la unicidad de la forma de la palabra libremente reducida en un grupo libre). Se puede utilizar esto para demostrar que cualquier grupo de superficie cerrada no abeliano tiene subconjuntos que generan débilmente pero no generan. Por ejemplo, en el caso de género dos, supongamos que $G$ tiene la presentación estándar con generadores $a,b,c,d$ y relación $[a,b][c,d]$ . Consideremos el conjunto $S = $ { $a,b[[b,c],b],c,d$ }. Si este conjunto genera G, entonces genera la imagen $G/N$ donde $N$ es el subgrupo normal generado por $a$ y $d$ . Esta imagen es un grupo libre generado por las imágenes de $b$ y $c$ . El conjunto S se proyecta a un conjunto que no genera.

Answer 1

He aquí una pequeña explicación de por qué los grupos nilpotentes son el único ejemplo posible de grupos que satisfacen suficientes propiedades de finitud. La presentación finita apenas es una propiedad de finitud, por lo que pueden existir ejemplos no nilpotentes.

No existen grupos finitos no ilpotentes tales que todo conjunto débilmente generador sea un conjunto generador. Si G es un grupo tal, entonces [G,G] es finito y la condición es simplemente que los elementos de [G,G] pueden ser eliminados de cualquier conjunto generador de G. Esto es simplemente la condición de que [G,G] ≤ Φ(G), donde Φ(G) es la intersección de los subgrupos maximales de G, también conocido como el subgrupo de Frattini. Un grupo finito es nilpotente si y sólo si [G,G] ≤ Φ(G) (y por supuesto [G,G] ≤ Φ(G) para cualquier grupo nilpotente, finito o no), así que esto explica por qué los grupos nilpotentes son importantes para esta propiedad.

Los grupos G en los que [G,G] es noetheriano y cada subgrupo tiene la propiedad de que cada conjunto débilmente generador es un conjunto generador tienen un nombre diferente: son los grupos en los que cada subgrupo satisface una forma muy débil de subnormalidad, conocida como ser "serial" (algo así como ser miembro de una serie de composición cuyo tipo de orden es un conjunto linealmente ordenado bastante arbitrario). Esto se describe en la sección 12.4 del Curso de teoría de grupos de Robinson.

Los grupos solubles finitamente generados tienen subgrupos de Frattini de buen comportamiento, de modo que si [G,G] ≤ Φ(G), entonces G es nilpotente. Suponiendo que [G,G] es noetheriano, un grupo soluble finitamente generado G en el que cada conjunto débilmente generador es un conjunto generador es nilpotente. En particular, los grupos policíclicos no proporcionarán ningún ejemplo.

Answer 2

El objetivo de mi respuesta es proporcionar referencias a artículos que hayan estudiado la clase de grupos considerada.

Sea $\mathcal{C}$ sea la clase de los grupos finitamente generados en los que todo subconjunto débilmente generador es un subconjunto generador. Esta clase ha sido estudiada, hasta cierto punto, en [1] y [2] en el contexto de la conjetura de Andrews-Curtis.

De hecho, los autores consideraron en [1] y [2] la clase $\mathcal{MN}$ de grupos finitamente generados en los que todo subconjunto normalmente generador es un subconjunto generador (la notación $\mathcal{MN}$ porque esta última clase coincide con la clase de grupos cuyos subgrupos maximales son normales; ésta es también la clase de grupos $G$ para lo cual $[G, G] \subset \text{Frattini}(G)$ ).

Claramente, $\mathcal{MN}$ contiene $\mathcal{C}$ .

Si todos los ascensores de $G$ de un subconjunto generador de $G/[G, G]$ normalmente genera $G$ entonces $G \in \mathcal{C}$ sólo si $G \in \mathcal{MN}$ . Los grupos solubles finitamente generados tienen esta propiedad.

Desgraciadamente, ninguna de estas referencias responde a la pregunta del OP: los ejemplos no nilpotentes dados en [2] son los grupos Grigorchuck y los grupos Gupta-Sidki y no admiten ninguna presentación finita.

Aun así, estos artículos me parecen útiles porque mejoran sin duda nuestra comprensión de $\mathcal{C}$ . Algunas condiciones de estabilidad para $\mathcal{MN}$ se establecen en [2] (la clase $\mathcal{MN}$ es estable bajo producto directo [Corolario 2.4, 2], goza de cierta estabilidad bajo la toma de subgrupos de índice finito [Proposición 2.3, 2]) y muchos ejemplos de grupos que no pertenecen a $\mathcal{MN}$ (grupos con un número finito de extremos [Proposición 2.5, 2], grupos que contienen un subgrupo libre no abeliano de índice finito [Corolario 1, 2]).

Hay también esta observación, que no se ha mencionado todavía, véase [Corolario 2, 2]:

Un grupo lineal finitamente generado está en $\mathcal{MN}$ si y sólo si es nilpotente.

En [1], la clase $\mathcal{MN}$ se identifica con la clase de grupos con recalcitrancia nula (la recalcitrancia de un grupo finitamente generado, si es finito, es un número entero que mide lo bien que el grupo cumple la conjetura generalizada de Andrews-Curtis). Así pues, la clase de $r$ -grupos de recalcitrancia con $r > 0$ generaliza de forma natural $\mathcal{MN}$ .

---

[1] "Recalcitrance in groups", R. G. Burns et al., 1999.
[2] "La clase $\mathcal{MN}$ de grupos en los que todos los subgrupos maximales son normales", A. Myropolska, arXive:1509.08090 [math.GR] , 2015.