Subgrupos cerrados de $Tr_1(d,\mathbb{Q}_p)$

Question

Para un campo $K$ dejemos denotar por $Tr_1(d,K)$ el grupo nilpotente de todos los triángulos superiores $d\times d$ -matrices sobre $K$ con cada entrada diagonal igual a 1. Sea $\mathbb{Q}_p$ el ámbito de $p$ -números radicales y considerar $Tr_1(d,\mathbb{Q}_p)$ con el $p$ -(obsérvese que se trata de una topología $p$ -grupo analítico radical). Entonces $Tr_1(d,\mathbb{Q})$ es un subgrupo denso de $Tr_1(d,\mathbb{Q}_p)$ . La pregunta es: Si $H$ es un subgrupo cerrado de $Tr_1(d,\mathbb{Q}_p)$ ¿es cierto que $H\cap Tr_1(d,\mathbb{Q})$ es denso en $H$ ?.

Ahora $Tr_1(d,\mathbb{Z}_p)$ es un subgrupo compacto abierto de $Tr_1(d,\mathbb{Q}_p)$ y de hecho es el pro $p$ finalización de $Tr_1(d,\mathbb{Z})$ . Es un hecho que para cada subgrupo cerrado $H$ de $Tr_1(d,\mathbb{Z}_p)$ tenemos que $H\cap Tr_1(d,\mathbb{Z})$ es denso en $H$ . Utilizando esto es fácil ver que para cualquier subgrupo cerrado $H$ de $Tr(d,\mathbb{Q}_p)$ tenemos que $\overline{H\cap Tr(d,\mathbb{Q})}$ es un subgrupo abierto de $H$ . Pero no puedo probar que sea igual a $H$ .

Answer 1

Elige $\lambda \in \mathbb{Z}_p \backslash \mathbb{Q}$ y definir

$H = \left\lbrace\begin{pmatrix} 1 & 0 & a \cr 0 & 1 & \lambda a \cr 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} : a \in \mathbb{Z}_p\right\rbrace$ .

Entonces $H$ es un subgrupo cerrado de $Tr_1(3,\mathbb{Q}_p)$ pero $H \cap Tr_1(3,\mathbb{Q})$ es el grupo trivial, por lo que ciertamente no es denso en $H$ .