Problema del valor absoluto $|x-5|<|x+1|$

Question

Así que tengo este problema básico de valor absoluto: $|x-5|<|x+1$ |. Por lo que he entendido, tengo que tener en cuenta lo que ocurre en cada caso. Hay cuatro casos, ¿verdad? Uno en el que ambos lados son positivos, otro en el que ambos lados son negativos y dos en los que un lado es negativo y el otro positivo.

El caso de que ambos sean negativos me da algo absurdo ( $5<-1$ ). Dado que el conjunto solución es la intersección de las soluciones para cada caso, esto significaría que no tiene solución. Pero la tiene.

¿Dónde está el error en mi razonamiento?

Answer 1

El lado izquierdo es la distancia desde $x$ a $5$ y el lado derecho es la distancia desde $x$ a $-1$ . ¿Cuándo se $x$ más cerca de $5$ ? El punto medio es $2$ . Así que cuando $x>2$

Answer 2

Cuadrado: $$ (x-5)^2<(x+1)^2\\ x^2-10x+25<x^2+2x+1\\ 12x>24\\ x>2 $$

¿Es posible? Desde luego: una desigualdad entre números no negativos es equivalente a la desigualdad correspondiente entre sus cuadrados.

Answer 3

Tienes tres casos, no cuatro.

Empieza a resolver: $$ x-5>0 \rightarrow x>5 \quad \land \quad x+1>0 \rightarrow x>-1 $$ así que $\mathbb{R}$ se divide en tres intervalos $(-\infty,-1) \bigcup [-1, 5) \bigcup [5,+\infty)$ y su desigualdad dividida en tres sistemas: $$ \begin{cases} x<-1\\ 5-x<-x-1 \end {cases} \quad \lor \quad \begin{cases} -1\le x<5\\ 5-x<x+1 \end {cases} \quad \lor \quad \begin{cases} 5\le x\\ x-5<x+1 \end {cases} $$ que puedes resolver fácilmente (y la solución final es la unión de las soluciones).