¿Por qué converge a $\pi/4$ ?

Question

La serie infinita...

$\pi/4 = 1 - 1/3 + 1/5 - 1/7 ...$

...me resulta muy intrigante y parece una loca coincidencia (su relación con $\pi$ ). ¿Es realmente una locura o tiene detrás un razonamiento lógico y fácil de explicar que haría que no pareciera tan mágico?

Answer 1

Creo que esto es relevante, y una explicación de la prueba de QY.

$$1+i\,\tan\,\theta=\sec\,\theta(\cos\,\theta+i\,\sin\,\theta)$$
$$1+i\,\tan\,\theta=\sec\,\theta\cdot e^{i\theta}$$

Tomando registros,

$$ \ln(1+i\,\tan\,\theta) = \ln(\sec\,\theta\cdot e^{i\theta})$$
$$ \ln(1+i\,\tan\,\theta) = i\theta + \ln(\sec\,\theta)$$

El resto es fácil.

Hay otras identidades interesantes que se derivan de esto, y son fáciles de demostrar. $$\arctan(1/2)+\arctan(1/3) = \pi/4$$ $$4\arctan(1/5)-\arctan(1/239) = \pi/4$$ $$4\arctan(1/5)-\arctan(1/70)+\arctan(1/99) = \pi/4$$

Estas ecuaciones finales facilitan progresivamente la evaluación de $\pi$ y para eso se utilizan.

Answer 2

Procede de evaluar el arctán de 1 .