¿Cómo difieren las normas de los valores absolutos?

Question

Ojalá sin complicarnos demasiado, ¿cómo es diferente una norma de un valor absoluto?

En contexto, estoy tratando de entender la estabilidad relativa de un algoritmo:

Usando la desigualdad $ \frac{|(x_0)- \tilde{f}(\epsilon, x_0)|}{|f(x_0)|} \leq \sigma_{rel} ||\epsilon|| + o(||\epsilon||)$

Donde $\sigma_{rel}$ describe la estabilidad relativa.

Y $||\epsilon||$ es el máximo error de redondeo de una función elemental: $||\epsilon|| = \mbox{max} |\epsilon_i|, i=1,...n$, $\epsilon = (\epsilon_1,...,\epsilon_n)$.

Después de leer un poco del artículo de wikipedia sobre normas, no pude entender mucho más allá de que una norma es positiva y una longitud. Estoy confundido acerca de la afirmación de que es una función...

Cualquier ayuda para tratar de entender esto sería genial, ¡gracias!

Answer 1

El valor absoluto es una instancia particular de una norma. O tal vez, puedes pensar en las normas como funciones $\mathbf{V}\to\mathbb{R}$ donde $\mathbf{V}$ es un espacio vectorial sobre un campo $\mathbf{F}$, y "valores absolutos" son "normas en el campo base".

El valor absoluto es una función $|\>|\colon\mathbb{R}\to[0,\infty)$; dado cualquier número real $r$, obtienes un número real no negativo que escribimos como $|r|$, y que satisface las siguientes propiedades:

1. $|x|\geq 0$ para todo $x\in\mathbb{R}$; $|x|=0$ si y solo si $x=0$.
2. $|rx| = |r||x|$ para todos los $r,x$.
3. $|x+y| \leq |x|+|y|$.

Es una función de valor real de variable real, porque toma un número real como entrada, y devuelve un número real (no negativo) como salida. Es solo que en lugar de llamar a la función, digamos, $f$, y escribir la salida como $f(x)$, llamamos a la función "$|\>|$" y escribimos la salida como $|x|$.

De manera similar, tenemos la función módulo para números complejos, $|\>|\colon\mathbb{C}\to[0,\infty)$, definida por $|z| = \sqrt{z\overline{z}}$, y que también satisface las tres condiciones anteriores.

Si $\mathbf{V}$ es un espacio vectorial sobre $\mathbb{R}$, entonces una norma en $\mathbf{V}$ es una función $||\>||\colon \mathbf{V}\to[0,\infty)$ que generaliza el valor absoluto; debe satisfacer:

• $||\mathbf{x}|| \geq 0$ para todo $\mathbf{x}\in\mathbf{V}$; $||\mathbf{x}||=0$ si y solo si $\mathbf{x}=\mathbf{0}$.
• $||r\mathbf{x}|| = |r|\,||\mathbf{x}||$ para todo $r\in\mathbb{R}$, todo $\mathbf{x}\in\mathbf{V}$.
• $||\mathbf{x}+\mathbf{y}|| \leq ||\mathbf{x}|| + ||\mathbf{y}||$ para todo $\mathbf{x},\mathbf{y}\in\mathbf{V}$.

Nuevamente, esta es una función: dado cualquier vector $\mathbf{x}$ en el dominio, $||\mathbf{x}||$ es la salida de la función (un número real no negativo).

En particular, si ves $\mathbb{R}$ como un espacio vectorial sobre sí mismo, entonces el valor absoluto da una norma en $\mathbb{R}$.

Para espacios vectoriales sobre $\mathbb{C}$, reemplazas el valor absoluto de $r$ en la segunda propiedad con el módulo de $r$.

La norma que describes en tu publicación, $||\epsilon||=\max|\epsilon_i|$ es una norma particular que se puede colocar en $\mathbb{R}^n$; hay muchas normas que se pueden definir en $\mathbb{R}^n$.

La noción de norma en un espacio vectorial se puede hacer con cualquier campo que esté contenido en $\mathbb{C}$, restringiendo el módulo a ese campo.

Agregado. También se puede extender la noción de norma comenzando con cualquier campo $\mathbf{F}$, como los racionales, simplemente pidiendo una función de "valor absoluto" $|\>|\colon \mathbf{F}\to [0,\infty)$ que cumpla las propiedades 1, 2 y 3 anteriores. Luego se extiende la noción de norma para cualquier espacio vectorial sobre ese campo. Es común referirse a tales "valores absolutos" como "normas" para no confundirlas con el valor absoluto habitual. Un ejemplo clásico, mencionado por Asaf, son las normas $p$-ádicas en los racionales. Primero, fija un número primo $p$; dado un entero $p$, definimos el $p$-orden de $a$ como la mayor potencia de $p$ que divide a $a$: es decir, $\mathrm{ord}_p(a) = n$ si y solo si $p^n$ divide a $a$ y $p^{n+1}$ no divide a $a$. Establecemos formalmente $\mathrm{ord}_p(0)=\infty$. Luego extendemos esto a los racionales: dado un racional $\frac{a}{b}$, dejamos $\mathrm{o}_p(\frac{a}{b}) = \mathrm{ord}_p(a) - \mathrm{ord}_p(b)$. Finalmente, definimos la norma $p$-ádica en los racionales, $||\>||_p\colon\mathbb{Q}\to[0,\infty)$ por $||\frac{a}{b}||_p = p^{-o_p(a/b)}$. (Se pueden usar bases distintas a $p$; equivalen a lo que se llaman "normas equivalentes").

Aquí realmente quieres pensar en $||\>||_p$ como una especie de valor absoluto "no estándar" en los racionales; conduce a matemáticas interesantes, comenzando con los números $p$-ádicos, si usas $||\>||_p$ para definir "sucesiones de Cauchy" en lugar de $|\>|$ y haces la misma construcción que conduce a los reales en el último caso.