$\ln|x|$ contra. $\ln(x)$ ? ¿Cuándo es el $\ln$ ¿la antiderivada marcada como valor absoluto?

Question

Una de las respuestas a los problemas que estoy haciendo tenía líneas rectas: $$ \ln|y^2-25|$$

frente a otro problema de ahora: $$ \ln(1+e^r) $$

Sé que esto tiene que ver probablemente con el valor absoluto. ¿Es necesario el marcado del valor absoluto porque el #1 era la antiderivada de una expresión variable al cuadrado que podía ser positiva o negativa (y tenía que ser positiva porque, bueno, logaritmo natural) y el segundo era positivo por defecto?

Perdona si soy yo quien pregunta y responde a mi propia pregunta; me encantaría que me lo confirmaran por si estoy equivocado.

Answer 1

Este es un asunto bastante sutil.

Lo primero es que para asegurarnos de que estamos hablando con sentido, deberíamos hablar de antiderivados en un intervalo específico . Por ejemplo, no debemos decir simplemente " $F(x)$ es una antiderivada de $f(x)$ ", sino algo como " $F(x)$ es una antiderivada de $f(x)$ para $1<x<2$ ".

Ahora bien, si $x$ toma valores positivos entonces la derivada de $\ln x$ es $x^{-1}$ . Así que podemos decir

$\ln x$ es una antiderivada de $x^{-1}$ para $x>0$ .

Por otro lado, si $x$ toma valores negativos, entonces la derivada de $\ln(-x)$ es $x^{-1}$ : se puede comprobar por diferenciación. Así que podemos decir

$\ln(-x)$ es una antiderivada de $x^{-1}$ para $x<0$ .

Ahora bien, si $x$ es positivo, entonces $x=|x|$ y si $x$ es negativo, entonces $-x=|x|$ por lo que nuestras dos expresiones logarítmicas anteriores pueden escribirse como $\ln|x|$ . Por lo tanto, podemos decir

$\ln|x|$ es una antiderivada de $x^{-1}$ en cualquier intervalo formado por positivos o negativos $x$ valores.

Pero . . el asunto empieza a ser muy dudoso si tratamos de incluir tanto lo positivo como lo negativo $x$ valores al mismo tiempo: porque entonces para obtener un intervalo de $x$ también tendríamos que incluir $x=0$ y tampoco $\ln|x|$ ni $x^{-1}$ tiene sentido si $x=0$ .

En mi opinión, escribir la antiderivada como $\ln|x|$ es una buena manera de resumir dos resultados en uno, pero conlleva un grave riesgo de ocultar lo que realmente ocurre. Así que mi preferencia, si tengo una integral que da $\ln(\hbox{something})$ La solución a este problema es saber si el "algo" es negativo o positivo, y ponerle un signo menos, o no, según el caso.

Answer 2

Sí, tienes razón. $1+e^x$ es positivo en todas partes, por lo que poner un valor absoluto sería redundante, pero $y^2-25$ es negativo si $|y|\lt 5$ por lo que necesitamos el valor absoluto.

Answer 3

El logaritmo es una función definida sólo en el dominio $(0,\infty)$ por lo que no tiene sentido introducir un valor negativo.

Answer 4

Sólo para explicitar lo que algunos decían en los comentarios, no se necesita mucha sofisticación con los números complejos para darle sentido a esto sin el signo de valor absoluto. En realidad, sólo es necesario conocer la forma polar de los números complejos. Podemos hacer uso del hecho de que podemos representar un número complejo $a+bi$ como $r e^{i\theta}$ , por Fórmula de Euler . El exponencial da una definición natural de $\log$ : Dado $a+bi=r e^{i\theta}$ ... $$\log(a+bi)=\log(r e^{i \theta})=\log(e^{\log(r)+i\theta})=\log(r)+i\theta$$

Para que sea una función en el sentido habitual, podemos restringir $r\ge 0$ y $-\pi\le \theta <\pi$ .

Entonces, $\log(x)$ donde $x$ es real se define como $\log x$ cuando $x>0$ y $\log |x|-\pi i$ cuando $x<0$ . Diferenciando con respecto a $x$ en ambos casos deja una componente imaginaria nula y el resultado esperado, por lo que entonces sí se tiene $\int \frac{1}{x} dx=\log(x)$ .

También hay que tener en cuenta que cuando se pasa de una antiderivada a una integral definida, se restan las constantes de la función, por lo que no se obtiene un resultado complejo.

Answer 5

En primer lugar, supongamos que se trata de funciones de valor real sobre variables reales. Entonces el logaritmo que estás utilizando viene con la constante de Eulers de base e.cuyo valor se encuentra entre 2 y 3 $loga=b \rightarrow e^{b}=a $ entonces naturalmente el logaritmo se define en un dominio que es el conjunto de números reales positivos. En segundo lugar no podemos definir la función inversa a menos que la función dada sea biyectiva. Si estás usando una función de valor complejo, creo que no necesitas poner el signo de valor absoluto, tu función (log) será una función de valor múltiple.