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¿Por qué los dinamicistas se preocupan tanto por las hipótesis de diferenciabilidad en dinámica suave?

He estado aprendiendo un poco sobre teoría de colectores estables e inestables para un difeomorfismo hiperbólico no uniforme $f: M \to M$ en un colector liso. Parece que hay dos casos completamente separados, cada uno con su propio universo de literatura: el caso en el que $f$ es $C^1$ y el caso en que $f$ es $C^{1 + \alpha}$ . Puedo entender más o menos por qué los casos son tan diferentes, pero no entiendo por qué alguien se preocupa por la $C^1$ (o cualquier cosa por debajo de $C^\infty$ ). Los ejemplos importantes con los que estoy familiarizado son el flujo geodésico en una variedad riemanniana compacta y un simplectomorfismo en una variedad simpléctica. La geometría riemanniana es una basura $C^2$ y me cuesta creer que la geometría simpléctica sea mejor. Entonces, ¿por qué tanto alboroto?

Gracias de antemano.

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Antti Puntos 11

Yo también me he hecho un poco la misma pregunta mientras asistía durante un par de días a una conferencia sobre dinámicas suaves. No soy en absoluto un experto (de hecho, ¡más bien no tengo ni idea!), pero sugeriría leer algunas de las introducciones de los artículos de Giovanni Forni. Por ejemplo, la ecuación cohomológica para nilflows (con Livio Flaminio) y las de sobolev reguarlity. (ambos están en el arxiv) Al menos mencionan algunas de las filosofías generales y las esperanzas de responder a tales cuestiones de regularidad.

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Mike Hofer Puntos 101

Probablemente diré una cosa banal, pero el grado de regularidad interesante depende del problema que se considere. En la teoría de las foliaciones, las propias foliaciones se suelen considerar suaves aunque el comportamiento transversal puede ser bastante malo. En algunas teorías el grado de regularidad ya está fijado pero en la mayoría de las teorías realmente depende de la cuestión.

Como comentario, propongo un problema que me parece simpático y para el que no conozco la respuesta. Consideremos el mapa del círculo para el que existe una órbita que consiste en todos números racionales. ¿Qué grado de suavidad puede tener este mapa?

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x-way Puntos 196

Siempre he tenido la impresión de que esto se debe a la arraigada cultura matemática de buscar los requisitos más precisos para que se cumpla un determinado teorema. De este modo, cuando surge una situación no suave, ya existen los teoremas para resolverla. Es una de las diferencias culturales entre las matemáticas puras, las matemáticas aplicadas y la física.

Siempre me he preguntado si se puede plantear el problema al revés: si se supone que se mantiene una continuidad cada vez más fuerte, ¿qué propiedades adicionales se mantienen? ¿Qué pasa con $C^{\infty}$ casos y analítica, ¿hay un hueco entre medias?

El mismo fenómeno aparece en gran parte de la bibliografía sobre optimización, en la que se imponen requisitos de continuidad cada vez más débiles a las funciones que se optimizan. Esto me parece extraño: ¿por qué no crear optimizadores cada vez más rápidos que aprovechen las propiedades de suavidad presentes en la mayoría de las aplicaciones?

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RexE Puntos 181

Esta es una pregunta antigua, pero me gustaría mencionar una clase importante de ejemplos de sistemas dinámicos que son $C^0$ pero no $C^1$ y cuyo estudio está motivado por la física estadística, y más concretamente por la hipótesis ergódica de Boltzman.

El más sencillo de estos sistemas es el 2D Sinai billar Una partícula se mueve libremente por la caja, rebotando cuando encuentra obstáculos. El flujo es continuo, pero no tiene mayor grado de regularidad, como puede verse observando lo que ocurre en la vecindad de una trayectoria tangente a un obstáculo. Obsérvese que el propio espacio de fases puede ser regular (por ejemplo, si la caja es un toroide) o no (si se trata de una caja real con esquinas).

Su relación con el flujo geodésico se explica, por ejemplo, en el libro de Arnold Avez. Se obtiene el billar apretando la superficie curvada negativamente a lo largo de una dirección.

Bajo algunas hipótesis, todavía es posible aplicar la teoría hiperbólica, pero esto es más difícil que para el flujo geodésico en una variedad negativamente curva debido a la falta de regularidad. Existe un volumen invariante que es una forma simpléctica en el caso 2d. Su existencia implica, por ejemplo, que el flujo de billar es mixto.

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