¿Por qué los dinamicistas se preocupan tanto por las hipótesis de diferenciabilidad en dinámica suave?

Question

He estado aprendiendo un poco sobre teoría de colectores estables e inestables para un difeomorfismo hiperbólico no uniforme $f: M \to M$ en un colector liso. Parece que hay dos casos completamente separados, cada uno con su propio universo de literatura: el caso en el que $f$ es $C^1$ y el caso en que $f$ es $C^{1 + \alpha}$ . Puedo entender más o menos por qué los casos son tan diferentes, pero no entiendo por qué alguien se preocupa por la $C^1$ (o cualquier cosa por debajo de $C^\infty$ ). Los ejemplos importantes con los que estoy familiarizado son el flujo geodésico en una variedad riemanniana compacta y un simplectomorfismo en una variedad simpléctica. La geometría riemanniana es una basura $C^2$ y me cuesta creer que la geometría simpléctica sea mejor. Entonces, ¿por qué tanto alboroto?

Gracias de antemano.

Answer 1

No puedo responder directamente a su pregunta, pero quiero expresar mi más profundo desacuerdo con su afirmación "la geometría de Riemann es basura". $C^2$ ". Esto no ha sido cierto al menos desde que Cheeger y Gromov introdujeron el estudio de la convergencia y el colapso de las variedades riemannianas. Esto demuestra que merece la pena estudiar muchos aspectos de la geometría riemanniana, aunque la métrica sólo sea $C^1$ y la curvatura es inferior a $C^0$ . Además, aunque su interés final sea $C^2$ En la geometría de Riemann, un enfoque poderoso consiste en estudiar los límites de las métricas de Riemann (obtenidos mediante la teoría de Cheeger-Gromov o resolviendo una EDP) que inicialmente son menores que $C^2$ pero finalmente se demostró $C^2$ o mejor.

Answer 2

Existe una cantidad considerable de investigación en dinámica que tiene como objetivo la comprensión del comportamiento genérico del difeomorfismo genérico. Creo que la gente se interesa por cualquier clase de diferenciabilidad, pero la mayoría de las técnicas desarrolladas hasta ahora no van mucho más allá de la $C^1$ -topología. Típicamente hay que deformar un difeo dado para llegar a condiciones genéricas y es mucho más difícil hacer pequeñas perturbaciones en el $C^{\infty}$ -topología que en la $C^1$ -topología. Un ejemplo arquetípico es la $C^1$ -lema de cierre lo que no se sabe si se cumple en topologías más finas.

Answer 3

Existen algunos fenómenos fascinantes en los sistemas dinámicos y campos afines cuya existencia depende del grado de diferenciabilidad.

Entre todas ellas, mi favorita es el hecho, demostrado por Haefliger, de que aunque exista C ∞ foliaciones de codimensión 1 de S 3 no existe ningún C ω foliación de codimensión 1 de S 3 .

Un resultado mucho más básico, debido a Denjoy, es que un C 2 difeomorfismo del círculo que tiene número de rotación irracional es topológicamente conjugado a la rotación del círculo que tiene ese mismo número de rotación. Pero hay contraejemplos para difeomorfismos que son meramente C 1 .

Answer 4

En primer lugar, el mero hecho de que las cosas cambien con regularidad es interesante y, por tanto, merece la pena investigarlo. En el caso de la geometría riemanniana esto se entiende bastante bien, ya que $C^2$ es lo que se necesita para introducir la curvatura. Sin embargo, se puede incrustar isométricamente un toro plano en $\mathbb{R}^3$ por un $C^1$ mapa, y esto parece que merece la pena entenderlo (y definitivamente no es "basura").

En segundo lugar, hay algunos casos en los que la regularidad "genérica" es débil: si se considera la foliación estable e inestable del flujo geodésico en una superficie compacta con curvatura negativa, entonces en general sólo es $C^{2-\varepsilon}$ . Un teorema muy bonito (de E. Ghys, si recuerdo bien) dice que si estas foliaciones son $C^2$ entonces la superficie tiene curvatura constante.

Answer 5

Tengo una respuesta algo tangencial que, no obstante, espero que le resulte útil. Una razón de la física sería que los sistemas con colisiones (por ejemplo, un gas clásico de núcleo duro) trivialmente no son suaves. La dirección hipótesis caótica de Gallavotti y Cohen es, en efecto, que esto supone poca diferencia práctica (y continuando con el ejemplo, que un gas de núcleo duro debería ser "efectivamente" Anosov ). Obviamente, esto requiere cierta atención matemática para resolver el lío que han montado los físicos.