¿Las derivadas distintas de cero implican rectas tangentes (y viceversa)?

Question

Sea $\gamma : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}^2$ sea una función continua cualquiera, cuya imagen viene dada por $C_\gamma$ .

• Podemos decir que $\gamma$ tiene un imagen tangente en $t \in \mathbb{R}$ si existe $\delta \in \mathbb{R}^{>0}$ tal que la imagen de $(t - \delta, t + \delta)$ vía $\gamma$ satisface lo siguiente:

existe un vector unitario proyectivo $u \in \mathbb{PS}^1$ tal que $\lim_{x \rightarrow \gamma(t), x \in X} \pi(\frac{x - \gamma(t)}{\|x-\gamma(t)\|}) = u$ donde $\pi : \mathbb{S}^1 \rightarrow \mathbb{PS}^1$ es el mapa estándar $\pi(x,y) := [x,y]$ y $X$ denota la imagen de $(t-\delta,t+\delta)$ vía $\gamma$ .

Esto está relacionado (pero es diferente) de decir $\gamma$ es diferenciable a $t$ . Por ejemplo $\gamma(t) = (t^3,|t|^3)$ entonces $\gamma$ sería diferenciable en todas partes, pero $C_\gamma = \{(x,y) \in \mathbb{R}^2 : y = |x|\}$ lo que significa $\gamma$ no tendría una tangente de imagen en $0$ .

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Mis preguntas son:

1. Si $\gamma$ es diferenciable a $t \in \mathbb{R}$ y $\gamma'(t) \not = 0$ , does $\gamma$ tienen necesariamente una imagen tangente a $t$ ?
2. Si $\gamma$ tiene una imagen tangente en $t$ ¿existe necesariamente una reparametrización de $\gamma$ (es decir, una biyección continua creciente $\phi : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ ) tal que $\gamma \circ \phi$ es diferenciable con derivada distinta de cero en $\phi^{-1}(t)$ ?

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Edita: A la luz de la responder Quiero seguir preguntando:

3. Si $\gamma$ tiene una imagen tangente en $t$ y es inyectiva en algún intervalo abierto no vacío que contenga a $t$ ¿existe necesariamente una reparametrización de $\gamma$ (es decir, una biyección continua creciente $\phi : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ ) tal que $\gamma \circ \phi$ es diferenciable con derivada distinta de cero en $\phi^{-1}(t)$ ?

Answer 1

La respuesta a la pregunta $1$ es sí: podemos suponer $t=0,\gamma(0)=(0,0)$ y $\gamma'(0)=(1,0)$ a efectos de esta pregunta. Entonces, como $\frac{||\gamma(x)||}{|x|}\to 1$ cuando $x\to0$ hay algo de $\delta>0$ tal que $\forall x\in(-\delta,\delta)\setminus\{0\}$ tenemos $\frac{||\gamma(x)||}{|x|}>\frac{1}{2}$ este valor de $\delta$ satisfará su definición de tangente de imagen.

En efecto, para cualquier secuencia $x_n$ en $(-\delta,\delta)$ tal que $\gamma(x_n)\to 0$ tenemos $x_n\to 0$ porque $|x_n|<2||\gamma(x_n)||\forall n$ . Así, por la definición de derivada, $\frac{\gamma(x_n)}{x_n}\to\gamma'(0)=(1,0)$ . Esto implica que $\lim_n\pi\left(\frac{\gamma(x_n)}{||\gamma(x_n)||}\right)=\lim_n\pi\left(\frac{\frac{\gamma(x_n)}{x_n}}{||\frac{\gamma(x_n)}{x_n}||}\right)=\pi((1,0))$ como queríamos.

La respuesta a la pregunta $3$ es no. Un contraejemplo fácil sería la curva $\gamma(t)=(t^3,|t|)$ pero no creo que eso esté en el espíritu de la pregunta, así que en la respuesta explico otro contraejemplo que no se basa en "cambiar de dirección".

Consideremos las secuencias de puntos $x_n=(-\frac{1}{2^n},\frac{1}{4^n})$ y $y_n=(-\frac{2}{2^n},\frac{1}{4^n})$ .

Ahora dejemos que $\gamma$ sea una curva con $\gamma(\frac{-1}{2n})=x_n$ y $\gamma(\frac{-1}{2n+1})=y_n$ (se puede interpolar linealmente) y luego $\gamma(0)=0$ y $\gamma(x)=-\gamma(-x)$ por positivo $x$ . La siguiente imagen representa $\gamma(t)$ como $t$ se acerca a $0$ desde abajo.

Entonces $\gamma$ cumple las condiciones de la pregunta $3$ . Ahora dejemos que $\phi:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ sea cualquier homeomorfismo creciente con $\phi(0)=0$ . Afirmo que $\gamma\circ\phi$ no es diferenciable en $0$ . En efecto, consideremos la secuencia creciente $a_n:=\phi^{-1}\left(\frac{-1}{n}\right)$ que converge a $0$ . Dejar $||\cdot||$ es la norma vectorial euclidiana, para cada $n\geq2$ tenemos $\frac{||\gamma\circ\phi(a_{2n})||}{|a_{2n}|} =\frac{||x_n||}{|a_{2n}|} <\frac{\frac{2}{3}||y_n||}{|a_{2n}|} <\frac{\frac{2}{3}||y_n||}{|a_{2n+1}|} =\frac{2}{3}\frac{||\gamma\circ\phi(a_{2n+1})||}{|a_{2n+1}|}$ donde $||\cdot||$ es la norma vectorial. Así que la secuencia $\frac{||\gamma\circ\phi\left(a_n\right)||}{|a_n|}$ no puede tener un límite distinto de cero, lo que implica que $\gamma\circ\phi$ no puede tener una derivada distinta de cero en $0$ .