En primer lugar, definamos una superficie de revolución con $z$ como eje de simetría: $$f(t,\varphi) = \left ( r(t) \cos \varphi, \; r(t) \sin \varphi, \; h(t) \right )$$ Para simplificar la notación, utilicemos $$r = r(t), \quad \dot{r} = \frac{d r(t)}{d t}, \quad \ddot{r} = \frac{d^2 r(t)}{d t^2} \\ h = h(t), \quad \dot{h} = \frac{d h(t)}{d t}, \quad \ddot{h} = \frac{d^2 h(t)}{d t^2}$$ El vector unitario normal de superficie es $$\vec{n}(t, \varphi) = \left ( \frac{-\dot{h}\cos\varphi}{\sqrt{{\dot{r}}^2 + {\dot{h}}^2}}, \; \frac{-\dot{h}\sin\varphi}{\sqrt{{\dot{r}}^2 + {\dot{h}}^2}}, \; \frac{\dot{r}}{\sqrt{{\dot{r}}^2 + {\dot{h}}^2}} \right )$$ Si $h\ne0$ y tenemos un punto $\vec{p}(t, \varphi) = \left ( r\cos\varphi, r\sin\varphi, h \right)$ en la superficie, y la normal unitaria $\vec{n}(t, \varphi)$ en ese punto, sus pendientes en el $xy$ avión son los mismos. Esto significa que una línea que extienda la normal unitaria siempre intersecará el eje de simetría ( $z$ ), siempre que $h\ne0$ . (Si $h = 0$ entonces la normal de la superficie es paralela al eje de simetría).
Las curvaturas principales: curvatura máxima y mínima en un punto determinado. $(t,\varphi)$ -- son $$\begin{cases} \kappa_1 = \frac{\dot{r}\ddot{h} - \ddot{r}\dot{h}}{({\dot{r}}^2+{\dot{h}}^2)^{3/2}} \\ \kappa_2 = \frac{\dot{h}}{r \sqrt{ {\dot{r}}^2 + {\dot{h}}^2 }} \end{cases}$$ y la curvatura gaussiana es $$K = \kappa_1 \kappa_2 = - \frac{\ddot{r}}{r}$$
Éstos se mantienen mientras $r(t)$ y $h(t)$ son dos veces diferenciables.
El radio de curvatura se define como el inverso de la curvatura. En este sentido, los principales radios de curvatura son $$\begin{cases} R_1 = \frac{1}{\kappa_1} = \frac{({\dot{r}}^2+{\dot{h}}^2)^{3/2}}{\dot{r}\ddot{h} - \ddot{r}\dot{h}} \\ R_2 = \frac{1}{\kappa_2} = \frac{r \sqrt{ {\dot{r}}^2 + {\dot{h}}^2 }}{\dot{h}} \end{cases}$$ En tres dimensiones, los centros de sus respectivos círculos están siempre en la línea que prolonga la normal de la superficie. (Sí difieren en su orientación rotación del círculo respectivo alrededor de la normal de la superficie).
Alternativamente, podemos pensar en los radios como los radios de dos esferas, una definiendo la curvatura mínima en ese punto de la superficie, y la otra la curvatura máxima. Los centros de las esferas siguen estando en la línea que prolonga la normal de la superficie.
Si nos fijamos en la ilustración original, ![original illustration]()
entonces, dado que se trata de una superficie de revolución, una línea que pasa por $A$ y $M$ o a través de $A'$ y $M'$ pasará siempre por el eje de simetría.
Sinceramente, no veo ninguna relevancia en la ubicación de $M$ de verdad. Dado que las superficies tridimensionales tienen dos curvaturas principales en cada punto de la superficie, utilizar un único punto para describirla (una parte de ella) me parece contraintuitivo. Es mucho más fácil utilizar la normal de la superficie y los parámetros de curvatura, en mi opinión.
