Esta puede ser una pregunta un poco tonta, pero vamos a $(S,P)$ sea un espacio de probabilidad discreto, $S$ un conjunto contable y $P$ una distribución de probabilidad, es la esperanza definida para todos los $\alpha \in \mathbb{R}$ siempre que $|\mathbb{E}(X)| < \infty$ ? Es decir, ¿tenemos $$\mathbb{E}(X) = \sum_{\alpha \in \mathbb{R}} X(\alpha)P(\alpha)?$$ Creo que la respuesta es sí, ya que nos limitaríamos a establecer $P(\alpha) = 0$ para todos $\alpha \notin S$ .
Respuestas
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En resumen, la respuesta es sí, pero hay algunos tecnicismos. Básicamente se reducen a que $\sum_{\alpha \in \mathbb{R}} F(\alpha)$ no es tan fácil de definir. Una forma de definirlo es $F \geq 0$ es como
$$\sup_{S \subset \mathbb{R},S \text{ is countable }} \sum_{\alpha \in S} F(\alpha).$$
Si $F \leq 0$ entonces puedes mirar:
$$\inf_{S \subset \mathbb{R},S \text{ is countable }} \sum_{\alpha \in S} F(\alpha)$$
en su lugar.
Si $F$ toma en ambos signos entonces usted puede mirar a $F^+=\max \{ F,0 \}$ y $F^-=\max \{ -F,0 \}$ para que $F=F^+-F^-$ . Entonces la suma sería:
$$\sup_{S \subset \mathbb{R},S \text{ is countable }} \sum_{\alpha \in S} F^+(\alpha) - \sup_{S \subset \mathbb{R},S \text{ is countable}} \sum_{\alpha \in S} F^-(\alpha)$$
siempre que no sea $\infty - \infty$ .
Todas estas cosas funcionarán correctamente y estarán de acuerdo con la definición habitual de la expectativa si existe la expectativa absoluta.
Tenga en cuenta que puede sustituir "contable" por "finito", el resultado será el mismo.
eugene y
Puntos
705
Sí, esta definición puede funcionar. Tenemos una variable aleatoria $X$ tomando valores en un espacio de probabilidad $(S,P)$ con $S$ discreto y el $\sigma$ -es el conjunto de potencias de $S$ . Identificamos la medida $P$ con los valores de su función de masa de probabilidad $\{P(\alpha)\}_{\alpha\in S}$ . Desde $S$ es contable, existe una biyección $f\colon S\to \mathbb N$ . Definir una nueva medida de probabilidad $Q$ en $\mathbb R$ como suma de las siguientes medidas de Dirac sobre $\mathbb R$ : $$ Q=\sum_{\alpha\in S}P(\alpha)\delta_{f(\alpha)}. $$ Entonces $f(X)$ es una variable aleatoria que toma valores en el espacio de probabilidad $(\mathbb R,Q)$ y $$ \mathbb E\ f(X)=\sum_{\alpha\in\mathbb R}X(\alpha)\ P(\alpha), $$ que es lo que usted quería ( $f(X)$ es sólo una forma de reetiquetar $X$ para que se convierta en una variable aleatoria que toma valores en $\mathbb R$ ).
