Operador de Dirac en la variedad de Kähler

Question

Referencia: El libro de John Morgan sobre la teoría de Seiberg-Witten. (pg 110)

Estaba trabajando en los detalles computacionales de la formulación del operador de Dirac en la variedad de Kähler. Si elegimos la $\mathrm{Spin}^{\mathbb{C}}$ -como la natural determinada por la estructura casi compleja subyacente, y elegimos la conexión de Chern sobre el haz de líneas anticanónico $K^{-1}$ . Podemos entonces calcular el operador de Dirac como $D=\sqrt{2}(\bar\partial+\bar\partial^*): \bigwedge ^{0,2}\oplus\bigwedge^0 \rightarrow \bigwedge^{0,1}$ .

Consideremos ahora el haz de espín complejo obtenido por el tensado anterior con un haz de líneas complejo $L_0$ que es el haz de espín complejo asociado a otro $\mathrm{Spin}^{\mathbb{C}}$ -Estructura. Elija una conexión unitaria en el haz de líneas determinante $L$ como $A$ . Esto equivale a elegir una conexión unitaria $A_0$ en $L_0$ satisface $A_0^2=A_{K} \otimes A$ . Aquí $A _K$ es la conexión de Chern en el haz de líneas canónico.

Tenemos entonces el operador de Dirac $D_A: \bigwedge ^{0,2}(L_0)\oplus\bigwedge^0(L_0) \rightarrow \bigwedge^{0,1}(L_0)$ .

El autor continúa afirmando que $D_A=\sqrt{2}(\bar\partial_{A_0}+ \bar \partial_{A_0}^*)$ es el operador obtenido por "acoplamiento" de $\sqrt{2}(\bar\partial+\bar\partial^*)$ con $\nabla_{A_0}$ .

No entiendo qué significa "acoplamiento" aquí. Además, no he llegado a la conclusión de que $D_A$ aquí está mi intento (con $s$ una sección del haz de espín original y $t$ una sección de $L_0$ ) :

$D_A (s\otimes t)=e_i \cdot \nabla_{e_i}^A(s\otimes t)= e_i \cdot(\nabla_{e_i}s\otimes t+s\otimes\nabla_{e_i}^{A_0}t)= D(s)\otimes t+e_i \cdot (s\otimes\nabla_{e_i}^{A_0}t)$

Pero entonces, ¿cómo abordamos la parte del resto?

Answer 1

Se considera una variedad de Kähler de dimensión real 4. El haz $(\Lambda^{0,2}\oplus\Lambda^0)\oplus\Lambda^{0,1}$ es un $\mathbb Z_2$ -con métrica hermitiana compatible y conexión (inducida por la conexión Levi-Civita), es decir, existe una acción del haz de Clifford que satisface la regla de Leibniz con respecto a la conexión. Los módulos de Clifford no son únicos, pero se pueden tensorizar con cualquier haz hermitiano con conexión compatible para obtener un nuevo módulo de Clifford con conexión compatible. Todo módulo de Clifford con conexión compatible admite un operador de Dirac natural $$D=c\circ\nabla$$ donde $c$ significa contracción (es decir, aplicar la multiplicación de Clifford con vectores (co)tangentes). Si se parte de un espín $^\mathbb C$ (un tipo especial de módulo de Clifford, como los haces de tu pregunta) y lo tensorizamos con un haz lineal complejo (con conexión hermitiana) obtenemos un nuevo espín $^\mathbb C$ paquete. El nuevo operador de Dirac es el antiguo operador de Dirac acoplado a la conexión. Las propiedades básicas (índice, núcleo, etc.) cambian al acoplarse con conexiones no triviales.

En cuanto a su última pregunta: si $s$ es una sección de $\Lambda^0$ entonces $\sum e_i\cdot s\otimes \nabla^A_{e_i} t$ es sólo $\sqrt{2}s\otimes\bar\partial^At$ es decir,es por la regla de Leibniz la diferencia entre $\sqrt{2}\bar\partial\otimes \text{id}$ en $\Lambda^0\otimes L_0$ y $\sqrt{2}\partial^A$ en $\Lambda^0\otimes L_0$ . Análogamente, se puede mostrar la declaración para $s$ siendo una sección de $\Lambda^{0,2}$ utilizando los operadores adjuntos.

Puede encontrar más detalles en Nicolaescus 'Notas sobre la teoría de Seiberg-Witten' en las secciones 1.3 y 1.4. Tu pregunta es la Proposición 1.4.25, y su demostración se deja al lector.