Si $A$ y $X\setminus A$ son densos en el espacio completo $X$ así que lo que quiero probar es que sólo uno de ellos puede ser $F_\sigma$ en $X$ .
Mi intento es el siguiente:
Supongamos que $A$ y $X \setminus A$ son $F_{\sigma}$ entonces obtenemos que
$$A=\bigcup_{n=1}^{\infty} E_n$$
$$X \setminus A=\bigcup_{n=1}^{\infty} B_n$$
donde $E_{n}$ y $B_n$ están cerradas para todo $n$ pero podemos escribir:
$$X \setminus A=\bigcap_{n=1}^{\infty} X\setminus E_n$$
con $X\setminus E_n$ abierto, entonces
$$\bigcap_{n=1}^{\infty} X\setminus E_n=\bigcup_{n=1}^{\infty} B_n $$
por lo tanto obtenemos que $\bigcup_{n=1}^{\infty} B_n$ está cerrado pero $\bigcap_{n=1}^{\infty} X\setminus E_n$ está abierto.
La cuestión es que no estoy utilizando la totalidad del espacio $X$ y la última parte creo que no es correcta (creo que no puedo asegurar que $\bigcup_{n=1}^{\infty} B_n$ está cerrado y $\bigcap_{n=1}^{\infty} X\setminus E_n$ está abierto )
¿Puede alguien ayudarme a solucionar los problemas (si los tengo, claro :)) o proporcionarme otra prueba, por favor?
Muchas gracias de antemano.
