Estoy estudiando transformaciones lineales por mi cuenta y me he encontrado con el siguiente teorema.
Supongamos que los vectores $v_1,\dots,v_n$ son la base del espacio $\mathbf{V}$ y vectores $w_1,\dots,w_m$ son la base de $\mathbf{W}$ . Cada transformación lineal $T$ de $\mathbf{V}$ a $\mathbf{W}$ se representa mediante una matriz $\mathbf{A}$ cuyo $j$ columna se obtiene aplicando $T$ a la $j$ vector base $v_j$ y escribir $T(v_j)$ como una combinación del $w$ 's:
$$\text{Column}
~\mathbf{j}~\text{of}~\mathbf{A}~T(v_j)=Av_j=a_{1j}w_1 + a_{2j}w_2 + \dots + a_{mj}w_m$$
Dado este teorema podemos calcular la matriz de transformación $\mathbf{A}$ de diferenciación de polinomios. $\frac{d}{t}:\mathbf{P}_n \rightarrow \mathbf{P}_{n-1}$ donde $\mathbf{P}_n$ son los polinomios de grado $n+1$ (considerar término constante). Así, dada la base natural de los polinomios de tercer y segundo grado por $\mathbf{V} = \{1,t,t^2,t^3\}$ y $\mathbf{W} = \{1,t,t^2\}$ respectivamente, podemos calcular la matriz de transformación $\mathbf{A_{diff}}$ . Más concretamente,
$$\frac{d}{dx}v_1 = 0~\text{or}~\mathbf{A_{diff}}v_1 =0w_1+0w_2+0w_3+0w_4$$ los coeficientes $[0,0,0,0]^T$ forman la primera columna de $\mathbf{A_{diff}}$ .
$$\frac{d}{dx}v_2= 1~\text{or}~\mathbf{A_{diff}}v_2 =1w_1+0w_2+0w_3+0w_4$$ los coeficientes $[1,0,0,0]^T$ forman la segunda columna de $\mathbf{A_{diff}}$ . De forma similar, podemos calcular el resto de las columnas para obtener
$$\mathbf{A_{diff}}=\begin{bmatrix} 0&1&0&0\\ 0&0&2&0\\ 0&0&0&3\\ \end{bmatrix}$$
Del mismo modo he intentado calcular la matriz de transformación de rotación $\mathbf{A_{rot}}$ . Dada la base del espacio inicial $\mathbf{V}=\{[1, 0]^T, [0, 1]^T\}$ la base del espacio rotado es $\mathbf{W}=\{[cos\theta, sin\theta]^T, [-sin\theta, cos\theta]^T\}$
¿Podría ayudarme a encontrar el $\mathbf{A_{rot}}$ siguiendo los mismos pasos que con $\mathbf{A_{diff}}$ ?
Gracias.
