¿por qué ciertas clases de objetos matemáticos bien investigados no han sido encuadrados por la teoría de categorías?

Question

La teoría de categorías está haciendo/ha hecho un trabajo estelar en Establecer , FinSet , Grupo , Cob , Vect las categorías cartesianas cerradas proporcionan un escenario para $\lambda$ -cálculo, y Baez escribió un paper (Física, topología, lógica y computación: una piedra Rosetta) con Mike Stay sobre muchas de las interconexiones entre ellos.

Pero hay objetos matemáticos que no se conciben de un modo teórico-categorial, al menos la literatura existente no tiende a tratarlos como tales. Por ejemplo, nadie habla de Serie , Productos , IndefInt como categorías por derecho propio . (series infinitas, productos infinitos e integrales indefinidas, respectivamente). (las búsquedas en google de la frase "la categoría de series infinitas" tanto en la web como en las bases de datos de libros no tienen ningún resultado). Supongo que mi pregunta es: ¿por qué no?

Answer 1

Por si fuera poco, podríamos contemplar la hilarante frase "¿por qué una mujer no puede... ser más como un hombre?", de ya-sabes-dónde.

Es decir, el estilo de (muchos) "análisis" refleja tanto las personalidades de los participantes como la "realidad matemática"... siendo esta última autorreferencialmente "definida" por las personalidades.

Es decir, ¿quizás la cuestión abordada por la pregunta reside en las suposiciones implícitas de quien la formula? :)

En mi propia experiencia, la "teoría (¿ingenua?) de las categorías", en el sentido de prestar más atención a las interacciones entre objetos que a sus estructuras internas, ha sido extremadamente útil, al menos para mostrar que varias "elecciones" o "construcciones" aparentes eran irrelevantes... Pero reconozco que otras personas piensan de otra manera...

Answer 2

Me gusta mucho pensar en $\mathbb{N}$ -clasificado $R$ -módulos como series de potencias $\bigoplus_{n \in \mathbb{N}} M_n \otimes X^{\otimes n}$ donde cada "coeficiente" $M_n$ es un $R$ -y $X$ es el módulo graduado grado concentrado $1$ y que es $R$ allí. Por lo tanto, tenemos una categoría de series de potencias, donde un morfismo es sólo una familia de morfismos entre los coeficientes. En realidad se trata de una categoría monoidal simétrica - el producto tensorial viene dado por alguna convolución. Y lo mismo funciona si sustituimos $\mathsf{Mod}(R)$ por cualquier categoría monoidal simétrica cocompleta. Esto se explica, por ejemplo, en la sección 5.4 de mi libro tesis .

Para obtener una conexión con las series de potencias en análisis, podríamos dotar al intervalo unitario $[0,1]$ con la estructura de una categoría monoidal simétrica cocompleta (cf. Ejemplo 3.1.6 en loc.cit.): Utilizamos la ordenación habitual para hacer de ella una categoría (fina) y la multiplicación habitual para hacer de ella una categoría simétrica monoidal. Los colímites vienen dados por los supremos. Por lo tanto, obtenemos una categoría monoidal simétrica cocompleta de secuencias valoradas en $[0,1]$ . Esto es de nuevo sólo un orden con una multiplicación, donde tenemos $(a_n) \leq (b_n)$ si $a_n \leq b_n$ para todos $n$ y $((a_p) \cdot (b_q))_n = \sup_{p+q=n} a_p \cdot b_q$ .

Observe también que coends en teoría de categorías captan algunas ideas de integración (definitiva). Véase MO/78471 por alguna intuición.