Encontrar las PDF marginales con variables aleatorias dependientes

Question

Dada una distribución de probabilidad con FCD conjunta:

$F(x,y)= 1 - e^{-x}-e^{-y}+e^{-(x+y + \alpha x y)} \quad \text{for} \quad x >0 ,\quad y>0, \quad \alpha \in [0,1]$

Podemos encontrar la PDF correspondiente mediante la diferenciación de ambas variables y tras simplificar obtenemos:

$f(x,y) = -\alpha e^{-x-y-\alpha x y} + e^{-x-y-\alpha xy}(-1-\alpha x)(-1-\alpha y)$

El siguiente paso sería obtener las PDF marginales de $f(x,y)$ sin embargo, como la función es claramente no separable en $f(x,y) = g(x)h(y)$ junto con que las variables son claramente dependientes, esto parece ser una tarea bastante no trivial. Hasta ahora he llegado a la conclusión de que, dada la forma de la PDF, los marginales deben distribuirse exponencialmente para algún parámetro $\lambda(\alpha)$ Sin embargo, no sé cómo demostrarlo sin tener que hacer demasiados cálculos.

Answer 1

Tenga en cuenta que $$ \frac{\partial}{\partial x} F(x,y) = e^{-x} \left(1 - e^{-y (1 + x \alpha)} (1 + y \alpha) \right) $$ y $$ \frac{\partial}{\partial y} F(x,y) = e^{-y} \left(1 - e^{-x (1 + y \alpha)} (1 + x \alpha) \right)\, . $$

Como bien señala, $f(x,y) = \frac{\partial}{\partial x}\frac{\partial}{\partial y} F(x,y)$ . El pdf marginal $f_X(x)$ viene dado por: \begin{align} f_X(x) &= \int_0^{\infty} dy\; f(x,y)\\ &= \int_0^{\infty} dy\; \frac{\partial}{\partial x}\frac{\partial}{\partial y} F(x,y)\\ &= \frac{\partial}{\partial x} F(x,y)\; \Bigg\rvert_{y=0}^{y=\infty}\\ &= e^{-x} \end{align} Del mismo modo, se encuentra que la pdf marginal $f_Y(y) = e^{-y}$ .