Automorfismos de $\pi_1$ inducidos por mapas pseudo-Anosov

Question

Supongamos que $X$ es una superficie orientable con límite no vacío y $f:X\to X$ es un automorfismo pseudo-Anosov que actúa idénticamente sobre $H_1(X,\mathbf{Z})$ . Sea $x$ sea un punto fijo de $f$ .

Para cualquier $\gamma\in\pi_1(X,x)$ tenemos $\gamma^{-1}f(\gamma)\in [\pi_1(X,x),\pi_1(X,x)]$ la conmutante de $\pi_1(X,x)$ . En términos más generales, tenemos $\gamma\cdot g^{-1}f g(\gamma)\in [\pi_1(X,x),\pi_1(X,x)]$ donde $g$ es un automorfismo de $X$ que fija $x$ .

Me gustaría preguntar qué se puede decir sobre el cierre normal en $\pi_1(X,x)$ del conjunto de todos los elementos $\gamma\cdot g^{-1}f g(\gamma)$ donde $\gamma$ atraviesa $\pi_1(X,x)$ et $g$ recorre el conjunto de todos los difeomorfismos $X\to X$ que arreglan $x$ . En particular, ¿coincide este cierre con la conmutante de $\pi_1(X,x)$ ?

Answer 1

No. $\Gamma_i$ sea la serie central inferior definida por $\Gamma_1=\pi_1(X,x)$ , $\Gamma_{i+1}=[\Gamma_1,\Gamma_i]$ . En Filtración Johnson $\text{Mod}_g(k)$ es la filtración descendente del grupo de clases cartográficas relativo a $x$ definido por:

$f\in \text{Mod}_g(k)\iff f$ actúa trivialmente sobre $\Gamma_1/\Gamma_k$

El primer término $\text{Mod}_g(2)$ es el Grupo Torelli que consiste en difeomorfismos que actúan trivialmente sobre la homología. El siguiente término $\text{Mod}_g(3)$ es el Núcleo Johnson . Por un bello teorema de Johnson, éste es el subgrupo generado por giros de Dehn alrededor de curvas separadoras.

Por nilpotencia residual de grupos de superficie, tenemos $\bigcap \text{Mod}_g(k)=\{1\}$ pero cada término individual en la filtración no es trivial. No es difícil ver que cada término de la filtración de Johnson contiene pseudo-Anosovs. De hecho, todos los subgrupos normales del grupo de clases cartográficas contienen pseudo-Anosovs (véase el lema 2.5 de Long, "A note on the normal subgroups of mapping class groups"), a partir del cual Long llegó a la conclusión de que dos subgrupos normales cualesquiera se intersecan de forma no trivial.

Así, puesto que $\text{Mod}_g(k)$ es normal, si tomamos $f\in\text{Mod}_g(k)$ tenemos $\gamma^{-1}\cdot g^{-1}fg(\gamma)\in \Gamma_k$ para todos $g$ y todos $\gamma$ .