Integral gaussiana con coeficientes imaginarios y rotación de Wick

Question

Aunque esta pregunta va a parecer completamente trivial a cualquiera que esté familiarizado con las integrales de trayectoria, estoy buscando una respuesta precisa y no he sido capaz de encontrar ningún material después de buscar durante unos 40 minutos, lo que me lleva a creer que tiene sentido hacer la pregunta aquí. En particular, busco una respuesta en la que las afirmaciones matemáticas estén formuladas de la forma más precisa posible, con pruebas detalladas o con referencias. Además, mi búsqueda de una solución me ha llevado a pensar que en realidad estoy buscando una buena explicación de la rotación de Wick, que realmente no puedo decir que entienda en detalle. Cualquier buena referencia al respecto será bienvenida.

Busco dar sentido a la siguiente identidad integral:

$$\int_{-\infty}^{\infty} dx \ \exp\left(i\frac{a}{2}x^2+iJx\right)=\left(\frac{2\pi i}{a}\right)^{1/2}\exp\left(\frac{-iJ^2}{2a}\right), \qquad a,J\in\mathbb{R}$$

Wikipedia (y varias otras fuentes) dicen que "Este resultado es válido como integración en el plano complejo siempre que a tenga una parte imaginaria positiva". Es evidente que el lado izquierdo no existe en el sentido de Lebesgue para real $a, J$ . Una respuesta a la pregunta " Rotación de Wick en teoría de campos: ¿justificación rigurosa? " reclama:

"es convergente como integral de Riemann, gracias a algunas cancelaciones bastante delicadas. Para que la integral esté bien definida -o, lo que es lo mismo, para ver cómo se producen esas cancelaciones-, necesitamos suministrar alguna información adicional. La rotación de Wick proporciona una forma de hacerlo. Se observa que el lado izquierdo es analítico en t y que el lado derecho está bien definido si Im(t)<0. Entonces puedes definir la integral para t real diciendo que es analítica continuada de t complejo con parte imaginaria negativa."

Quiero ver los detalles escabrosos y toda la motivación conocida de la validez de este procedimiento para los tipos de aplicaciones en las que se producen tales integrales. Sugerencias como "incluir una $i\epsilon$ para hacerla finita" parecen arbitrarias. En ese caso habría que motivar esa prescripción desde el principio, es decir, dentro del procedimiento de modelización que acaba dando esa expresión integral (que probablemente sea la forma correcta de enfocar esto). Tampoco estoy seguro de cómo interpretar el lado derecho, ya que implica la raíz cuadrada de un número imaginario, lo que debería implicar alguna elección de corte de rama, que nunca he visto especificado en relación con esta fórmula.

Answer 1

Proposición. Sean dados dos números complejos $a,b\in \mathbb{C}$ tal que ${\rm Re}(a)\geq 0$ . En el caso ${\rm Re}(a)=0$ exigimos además que ${\rm Im}(a)\neq 0$ et ${\rm Re}(b)=0$ . En Integral gaussiana está bien definido y se da $$ \underbrace{\int_{\mathbb{R}}\!dx~ e^{-\frac{a}{2}x^2+bx}}_{=:~ I_{\mathbb{R}}(a,b)} ~=~\lim_{\begin{array}{c} x_i\to -\infty \cr x_f\to \infty \end{array} } \underbrace{\int_{[x_i,x_f]}\!dx~ e^{-\frac{a}{2}x^2+bx}}_{=:~ I_{[x_i,x_f]}(a,b)} ~=~\underbrace{\sqrt{\frac{2\pi}{a}}e^{\frac{b^2}{2a}}}_{=:~ F(a,b)}, \tag{A}$$ donde se entiende implícitamente que la raíz cuadrada tiene parte real positiva.

Observación: En Riemann / Darboux integral es no definida para conjuntos no acotados, por lo que sólo puede utilizarse para la expresión intermedia de la ec. (A).

I) Prueba esbozada en caso de ${\rm Re}(a)> 0$ : La función $g(x)=e^{-\frac{{\rm Re}(a)}{2}x^2+{\rm Re}(b)x}$ sirve como función principal para Teorema de convergencia dominada de Lebesgue lo que establece la primera igualdad de la ec. (A). Para la segunda igualdad de la ec. (A), dividimos la prueba en casos:

1. Caso $a>0$ et $b\in \mathbb{R}$ . Completar el cuadrado . $\Box$

2. Caso $a>0$ . Completa el cuadrado. Desplazar adecuadamente el contorno de integración hacia una recta horizontal en el plano complejo para reducir al caso 1, cf. Teorema integral de Cauchy . Argumentar que las contribuciones en el infinito desaparecen. $\Box$

3. Caso ${\rm Re}(a)> 0$ . Gire el contorno de integración a una línea de descenso más pronunciado para reducir al caso 2, véase el teorema integral de Cauchy. Argumentar que las contribuciones en el infinito desaparecen. $\Box$

II) Demostración esquemática en el caso oscilatorio ${\rm Re}(a)=0, {\rm Im}(a)\neq 0, {\rm Re}(b)=0$ : La izda. de la ec. (A) es no Lebesgue integrable . Es un integral impropia definida mediante la expresión central de la ec. (A). Queda por demostrar la segunda igualdad de la ec. (A). Se puede demostrar utilizando el teorema de la integral de Cauchy del modo siguiente Respuesta de Jack . En esta respuesta daremos en cambio una prueba en el espíritu de una prescripción de deformación infinitesimal.

Dado $\varepsilon>0$ . En $x_i\to \infty$ et $x_f\to \infty$ no es difícil ver que $I_{[x_i,x_f]}(a,b)$ oscila con una amplitud cada vez menor que tiende a cero, por lo que es convergente sin cualquier regularización. La convergencia mejora si dejamos que $a$ tener una parte real positiva. En otras palabras, la convergencia es uniforme wrt. ${\rm Re}(a)\geq 0$ es decir

$$ \exists X_i,X_f\in \mathbb{R} ~\forall x_i\leq X_i~\forall x_f\geq X_f ~\forall {\rm Re}(a)\geq 0:~~ \left| I_{[x_i,x_f]}(a,b)- I_{\mathbb{R}}(a,b)\right| ~\leq~\frac{\varepsilon}{4}.\tag{B}$$

A continuación se utiliza el teorema de convergencia dominada de Lebesgue con función mayorante de la forma $g(x)=C~1_{[x_i,x_f]}(x)$ (donde $C>0$ es una constante adecuada) para argumentar que

$$I_{[x_i,x_f]}( i{\rm Im}(a),b) ~=~\lim_{{\rm Re}(a)\to 0^+} I_{[x_i,x_f]}(a,b) , \tag{C}$$

es decir $\exists {\rm Re}(a)>0$ tal que

$$ \left| I_{[x_i,x_f]}( i{\rm Im}(a),b)-I_{[x_i,x_f]}( a ,b) \right| ~\leq~\frac{\varepsilon}{4},\tag{D}$$

y

$$\left| \underbrace{F( a ,b)}_{=~ I_{\mathbb{R}}(a,b)}- F( i{\rm Im}(a),b) \right| ~\leq~\frac{\varepsilon}{4}.\tag{E}$$

En la ec. (E) utilizamos que la función $F$ es continua. En conjunto, las ecs. (B), (D) y (E) dan como resultado $$ \begin{align} \left| I_{\mathbb{R}}(i{\rm Im}(a),b) - F( i{\rm Im}(a),b)\right| ~\leq~&\left| I_{\mathbb{R}}(i{\rm Im}(a),b)- I_{[x_i,x_f]}( i{\rm Im}(a),b)\right|\cr &+\left| I_{[x_i,x_f]}( i{\rm Im}(a),b) - I_{[x_i,x_f]}( a ,b)\right| \cr &+\left| I_{[x_i,x_f]}(a,b)- I_{\mathbb{R}}(a,b)\right|\cr &+\left|F( a ,b) - F( i{\rm Im}(a),b)\right| \cr ~\leq~&\varepsilon.\end{align} \tag{F}$$

La ec. (F) muestra que se cumple la segunda igualdad de la ec. (A). $\Box$

Answer 2

En primer lugar, hay que demostrar la siguiente fórmula integral clave: \begin{align*} \boxed{I = \int_{-\infty}^{+\infty} d x e^{ i a x^2} = \sqrt{\dfrac{i \pi}{a}} \qquad (a>0) } \end{align*} Normalmente se puede coger una función analítica $f(z)=e^{ i a z^2}$ y luego realiza la integral compleja a lo largo del contorno cerrado mostrado anteriormente. $$J = \oint d z e^{ i a z^2} = \int_{C_1} + \int_{C_2} + \int_{C_3} + \int_{C_4} = J_1 + J_2 + J_3 + J_4 =0$$ A continuación hay que calcular las cuatro integrales de línea a lo largo de cuatro intervalos diferentes.

1. $C_1:z=x \qquad x \in [-p,p]$ $$J_1 = \int_{C_1} dz e^{i a z^2} = \int_{-p}^p d x e^{i a x^2}$$
2. $C_2:z=p+iy \qquad y \in [0,p]$ $$J_2 = \int_{C_2} dz e^{i a z^2} = \int_0^p i d y e^{i a (p+i y)^2}$$
3. $C_3:z=x+iy = (1+i) y = \sqrt{2}e^{i\pi/4}y \qquad y \in [p,-p]$ \begin{align*} J_3 & = \int_{C_3} dz e^{i a z^2} = e^{i\pi/4} \int_{\sqrt{2}p}^{-\sqrt{2}p} d x e^{- a x^2} \end{align*}
4. $C_4:z=-p + i y \qquad y \in [-p,0]$ \begin{align*} J_4 & = \int_{C_4} dz e^{i a z^2} = \int_{-p}^0 i d y e^{i a (i y -p)^2} \qquad (y \Rightarrow -y) \\ & = \int_p^0 - i d y e^{i a (-i y - p)^2} = \int_0^p i d y e^{i a (i y+p)^2} \\ & = J_2 \\ \end{align*}

En el último paso, consideraremos el proceso de limitación: $p\rightarrow+\infty$ \begin{align*} & 0 \leq |J_2| \leq \left|\int_0^p i d y e^{i a (i y+p)^2}\right| \leq \int_0^p d y e^{-2 a p y} = \dfrac{1-e^{-2a p^2}}{2 a p} \\ & \lim_{p \rightarrow +\infty} \dfrac{1-e^{-2a p^2}}{2 a p} \Rightarrow \lim_{p\rightarrow+\infty} |J_2| = 0 \Rightarrow \boxed{\lim_{p\rightarrow +\infty} J_2 = \lim_{p\rightarrow +\infty} J_4 =0} \end{align*} \begin{align*} & p\rightarrow +\infty \Rightarrow J_1+J_3=0 \Rightarrow J_1 = -J_3 = e^{i\pi/4} \int_{-\infty}^{+\infty} d x e^{- a x^2} = e^{i \pi/4} \sqrt{\dfrac{\pi}{a}} = \sqrt{\dfrac{i\pi}{a}} \\ & \Rightarrow \boxed{\int_{-\infty}^{+\infty} d x e^{i a x^2} = \sqrt{\dfrac{i\pi}{a}} \qquad (a>0)} \end{align*} También se puede obtener un resultado similar para $a<0$ con la ayuda del siguiente contorno cerrado.

Pues por la integral que estás dando: \begin{align} \int_{-\infty}^{+\infty} e^{\dfrac{iax^2}{2}+iJx} dx = \int_{-\infty}^{+\infty} e^{i \dfrac{a}{2}(x+\dfrac{J}{a})^2-i\dfrac{J^2}{2a}} dx = \sqrt{\dfrac{i2\pi}{a}}e^{-i\dfrac{J^2}{2a}} \end{align}

Espero que te ayude.