¿Admite todo esquema un atlas abierto formado sólo por morfismos representables por un afín?

Question

Sea $X$ sea un esquema. Un atlas abierto para $X$ es una familia conjuntamente epimórfica de inmersiones abiertas de Zariski $\{X_i\to X\}$ donde cada $X_i$ es un esquema afín.

Un morfismo $X\to S$ de esquemas se denomina representable por un afín si para cualquier mapa $Y\to S$ donde $Y$ es afín, el pullback $X\times_S Y$ es a su vez afín.

Entonces la pregunta:

Dado un esquema $S$ ¿existe un atlas abierto para $S$ consistente sólo en morfismos representables por un afín?

Answer 1

Un morfismo $X \to Y$ es representable por un afín si es un morfismo afín (las preimágenes de afines abiertos son afines abiertos), ya que este último es estable bajo cambio de base. Ahora bien, una inmersión abierta $U \to X$ es afín si $U \cap V$ es afín abierto en $X$ para cada afín abierto $V$ en $X$ . Así $X$ tiene un atlas consistente en tales mapas si cada dos afines abiertos se intersecan en un afín abierto, es decir, si la diagonal $\Delta : X \to X \times_{\mathbb{Z}} X$ es afín (lo que ocurre cuando $X$ se separa).