Si una zona cerrada y lisa $m-1$ forma, $\omega$ es distinto de cero en un punto, existen coordenadas locales $x^i$ con $\omega = dx^2 \wedge\cdots \wedge dx^m.$

Question

Se trata de un problema en un antiguo examen eliminatorio.

Sea $\omega$ sea una $m-1$ en una superficie lisa $m$ -dimensional $M$ . Si $\omega \neq 0$ en un punto $p\in M$ entonces existe un sistema de coordenadas $(x^1,...,x^m)$ en una vecindad de $p$ en el que $$\omega = dx^2 \wedge dx^3 \cdots \wedge dx^m.$$

Creo que quieren que utilicemos el teorema de Frobenius, pero me cuesta avanzar.

Answer 1

Pues bien, Frobenius, de entrada, se aplica a un sistema diferencial generado por una familia de $1$ -formas. Pero seamos inteligentes. En coordenadas estándar $(y^1,\dots,y^m)$ podemos escribir $$\omega = \iota_X dy^1\wedge\dots\wedge dy^m$$ para algún campo vectorial $X$ con $X(p)\ne 0$ . Por el teorema de la caja de flujo, podemos elegir las coordenadas locales $(z^1,z^2,\dots,z^m)$ para que $X = \partial/\partial z^1$ Así que $\omega = f\,dz^2\wedge\dots\wedge dz^m$ para alguna función distinta de cero $f$ . Desde $d\omega = 0$ deducimos que $\dfrac{\partial f}{\partial z^1} = 0$ y así $f=f(z^2,\dots,z^m)$ . Ahora ajuste $$x^2=\int f(z^2,\dots,z^m)\,dz^2\,,$$ para que $$dx^2 = f\,dz^2 + \sum_{j=3}^m \left(\int \dfrac{\partial f}{\partial z^j}\,dz^2\right)\,dz^j\,.$$ De ello se deduce que si fijamos $x^1=z^1, x^3=z^3,\dots, x^m=z^m$ entonces $\omega = dx^2\wedge\dots\wedge dx^m$ .