Caracterización sin sentido relativa entre un fractal y su espacio de código

Question

Dado un IFS hiperbólico $(X,\{f_i:i=1,\ldots,N\})$ y denotando su espacio de código por $\Sigma_N = \{1,\ldots,N\}^{\mathbb{N}}$ y el conjunto fractal generado por $\mathcal{A}$ .

Existe una cartografía continua y suryectiva $\gamma: \Sigma_N \to \mathcal{A}$ dada por $\gamma(\sigma) = \lim\limits_{n \to \infty} f_{\sigma(n)}(x)$ donde $x$ puede elegirse arbitrariamente en $X$ .

Denotando para $f:X \to X$ por $\overline{f}:H(X) \to H(X)$ la función $\overline{f}(A) = \{f(a):a \in A\}$ donde $H(X)$ es el hiperespacio de subconjuntos compactos de $X$ . El autor hace la siguiente observación:

Supongamos que $\sigma \in \Sigma_N$ y que $A_{\sigma(n)} = \overline{f}_{\sigma(n)}(A)$ para $A \in H(X)$ . Entonces el teorema anterior afirma que $\gamma(\sigma) = \bigcap\limits_{n \in \mathbb{N}} A_{\sigma(n)}$

¿Cómo puedo demostrar que esta observación es cierta?

Mi intento

$f(X) \subset X$ . Esto se debe a que $f:X \to X$ . La desigualdad estricta se deduce si se toma $x_0,y_0 \in X$ tal que $diam(X) = d(x_0,y_0)$ . Es evidente que $x_0 \in f(X)$ y $y_0 \in f(X)$ no pueden ocurrir simultáneamente, ya que el diámetro disminuye estrictamente:

$$diam(f(X)) = \sup\{d(x,y).x,y \in f(X)\} = \sup\{d(f(x'),f(y')).x',y' \in X\} \le \lambda \cdot \sup\{d(x',y').x',y' \in X\} = \lambda \cdot diam(X) < diam(X)$$

donde $\lambda < 1$ . Por monotonicidad, $f(f(X)) \subseteq f(X)$ y luego hacer la inducción. Para esta secuencia decreciente, se tiene $\cap_{i = 1}^n \{\overline{f}_{\sigma(i)}(X)\} = \overline{f}_{\sigma(n)}(X)$ así que $\cap_{i = 1}^\infty \{\overline{f}_{\sigma(i)}(X)\} = \lim\limits_{n \to \infty} \overline{f}_{\sigma(n)}(X) = \lim\limits_{n \to \infty} f_{\sigma(n)}(x)$ para $x \in X$ .

Pero esto no puede aplicarse a cualquier $A \in H(X)$ . Sin embargo, puede aplicarse a conjuntos tales que $f(S) \subseteq S$ como el conjunto fractal $\mathcal{A}$ .

Referencias

Estos notas de clase .

Massopust's Interpolación y aproximación con splines y fractales

Answer 1

$\newcommand{\de}{\delta} \newcommand{\ga}{\gamma} \newcommand{\si}{\sigma} \newcommand{\ep}{\varepsilon}$ Primero aquí, $\bigcap\limits_{n \in \mathbb{N}} A_{\sigma(n)}$ es un subconjunto de $X$ mientras que $\gamma(\sigma)$ es un elemento de $X$ . Por lo tanto, en su segunda declaración resaltada $\gamma(\sigma)$ debe sustituirse por $\{\gamma(\sigma)\}$ . (Para ello se utilizan las notaciones de las páginas 25 y 22 de los apuntes de clase: $$A_{\sigma(n)}:=f_{\sigma(n)}(A),\quad f_{\sigma(n)}:=f_{\sigma_1}\circ\dots\circ f_{\sigma_n}$$ para $\sigma=(\sigma_1,\sigma_2,\dots)\in\Sigma_N=\{1,\ldots,N\}^{\mathbb{N}}$ .)

Incluso después de eso, su segunda afirmación resaltada será definitivamente falsa si, por ejemplo $A=\emptyset\ne X$ . También será falso si, por ejemplo $X=[0,1]$ , $f_1(x)=x/2$ para $x\in[0,1]$ , $f_2,\dots,f_N$ son cualesquiera mapas de contracción de $X=[0,1]$ en sí mismo, $A$ es el conjunto compacto no vacío $\{1\}$ y $\si=(1,1,\dots)$ .

Sin embargo, es fácil ver que $$\begin{equation*} \{\gamma(\sigma)\} = \lim_n A_{\si(n)} \end{equation*}$$ para cualquier $A\subseteq X$ en el sentido $$\begin{equation*} d(A_{\si(n)},\ga(\si)):=\sup\{d(y,\ga(\si))\colon y\in A_{\si(n)}\}\to0,\tag{1} \end{equation*}$$ donde $d$ es la función de distancia en $X$ . En efecto $M\in[0,\infty)$ sea el diámetro del conjunto acotado $A$ . Entonces para algunos $r\in[0,1)$ todos $\si\in\Sigma_N$ y todo natural $n$ el diámetro del conjunto $A_{\si(n)}$ será $\le M r^n$ . Así, para cualquier $x\in A$ $$\begin{equation*} d(A_{\si(n)},\ga(\si))\le d(A_{\si(n)},f_{\si(n)}(x))+d(f_{\si(n)}(x),\ga(\si)) \le M r^n+d(f_{\si(n)}(x),\ga(\si))\to0 \end{equation*}$$ de modo que se cumpla (1).