El campo de fracciones de un orden es $\mathbb{Q}$

Question

Sea $K$ sea un campo algebraico de números y $L$ los enteros algebraicos en $K$ . Suponiendo una orden $O$ se define como un subring de $L$ que es de índice finito como subgrupo del grupo aditivo $L$ tengo que demostrar que el campo de fracciones de $O$ es $K$ .

No es difícil demostrar que $O$ es un $\mathbb{Z}$ -de rango $n = [K : \mathbb{Q}]$ . Además, sabemos que el campo de fracciones de $L$ es $K$ lo que implica que el campo de fracciones de $O$ es un subcampo de $K$ . ¿Cómo podemos demostrar que el campo de fracciones de $O$ es también $K$ ?

Answer 1

Para cualquier elemento $k = \frac{x}{y}\in K$ donde $x, y \in L$ tenemos $k = \frac{dx}{dy}$ donde $d = [L:O]$ es el índice. Y $dx$ y $dy$ son elementos de $O$ .

Answer 2

Un elemento de $K$ tiene la forma $a/b$ para $a,b\in L$ ( $b\neq0$ ) ya que $K=\operatorname{Frac}L$ . Sea $k=[L:O]$ que es finito por suposición. Tenemos entonces que $k{\cdot}a\in O$ y $k{\cdot}b\in O$ (esto viene de aplicar el teorema de Lagrange al grupo abeliano $L/O$ ), y por lo tanto $a/b=(ka)/(kb)\in\operatorname{Frac}O$ .

Answer 3

Sea $m$ sea el índice de $O$ en $L$ . Entonces para $x \in L$ , $mx \in O$ .

Ahora dejemos que $x/y \in K$ . $x/y=mx/my$ Así que $K \subseteq \operatorname{Frac}(O)$ .