El cierre de todos los homeomorfismos periódicos del círculo

Question

Sea $X$ sea el espacio de todos los mapas continuos de $S^{1}$ a $S^{1}$ . $X$ está equipado con $C^{0}$ topología. Sea $Y\subset X$ sea la unión de todos los homeomorfismos de orden finito, es decir: todos los homeomorfismos $\phi$ con $\phi^{n}=Id$ para algún número natural $n$ . Supongamos que $g\in X$ pertenece a $\bar{Y}-Y$ . Algunas preguntas sobre $g$ :

1.Is $g$ ¿es necesariamente un homeomorfismo? En caso afirmativo, ¿es necesariamente preservador del orden?

2. ¿Es cierto que $g$ cumple al menos una de las siguientes condiciones:

I: Los puntos periódicos de $g$ es denso

II: $g$ tiene una órbita densa

En términos más generales, ¿en qué medida los elementos de $\bar{Y}-Y$ se conocen, dinámicamente?

¿Y si sustituimos $S^{1}$ con otra múltiple y estudiar los elementos de $\bar{Y}-Y$ ? ¿Y si consideramos $C^{k}$ topología para $k>0$ ?

Nota: Una posible versión teórica del operador para la pregunta $1$ podría ser la siguiente:Sea $A$ ser un $C^{*}$ álgebra. Sea $X$ sea el espacio de todos los morfismos unitales y $Y\subset X$ sea la unión de todos los automorfismos de orden finito. Supongamos que $T\in \bar{Y}-Y$ . Es $T$ necesariamente un automorfismo.(En realidad, ¿es suryectivo?)

Answer 1

La respuesta tanto a la pregunta 1 como a la 2 es falsa, debido al siguiente ejemplo. Consideremos $(n+1)$ intervalos consecutivos $I_0,...,I_n$ de longitudes $1,2,4,...,2^{n-1}, 2^n$ . Que el mapa $T_n$ permutarlos cíclicamente de forma afín. De hecho, si se elige $I_j=[2^j,2^{j+1}]$ entonces $$ T_n(x)=\begin{cases} 2x, & x \not\in I_{{n}}\\ 2^{-n}x, & x\in I_{n}. \end{cases} $$

Ahora, haz un cambio afín de las coordenadas para que la unión $I_0\cup\dots\cup I_n=[1,2^{n+1}]$ se convierte en (siempre el mismo) círculo $[0,1]/(0\sim 1)$ . Entonces, los mapas construidos en este círculo $C^0$ -converger, as $n\to\infty$ a $$ T(x)=\begin{cases} 2x, & x \in [0,1/2]\\ 0, & x\in [1/2,1]. \end{cases} $$

Este mapa no es un homeomorfismo (colapsa el intervalo $[1/2,1]$ a un único punto 0). Además, la órbita de cualquier punto cae al punto fijo 0 en un número finito de pasos, por lo que sólo hay un punto periódico, y no hay órbita densa.

Answer 2

La respuesta a la pregunta 2 es no. De hecho, existe un homeomorfismo que preserva la orientación $g\colon \mathbb{R}/\mathbb{Z}\to\mathbb{R}/\mathbb{Z}$ tal que $g\in\overline{Y}\setminus Y$ y tal que tiene exactamente un punto fijo (en consecuencia, no tiene órbita densa y no es periódica):

Para cada $t\in\mathbb{R}$ , dejemos que $\tilde g_t\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ viene dada por $\tilde g_t(x):= x + 1/8(1-\cos(2\pi x))+t$ . Aviso $\tilde g_t$ es la elevación de un homeomorfismo de círculo $g_t$ . Sea $g=g_0$ y observa $0\in\mathbb{R}/\mathbb{Z}$ es el único punto fijo de $g$ .

Queremos demostrar que $g\in\overline{Y}\setminus Y$ . Para ello $\rho_t=\rho(\tilde g_t)$ denotan el número de rotación (también llamado traslación) de $\tilde g_t$ . Observe que $\rho_t$ depende continuamente de $t$ y $$ \rho_t > \rho_0=0, \quad\forall t>0.$$

En particular, esto implica que existe una secuencia estrictamente decreciente $(t_n)$ con $t_n\to 0$ tal que $\rho(t_n)$ es un número diofantino (irracional). Por lo tanto, por el teorema de linealización de Herman-Yoccoz (véase por ejemplo https://eudml.org/doc/82144 ), para cada $n$ existe un $C^\infty$ -difeomorfismo $h_n\colon\mathbb{R}/\mathbb{Z}\to\mathbb{R}/\mathbb{Z}$ tal que $h_n\circ g_{t_n}\circ h_n^{-1}=R_{\rho_{t_n}}$ la rotación rígida de ángulo $\rho_{t_n}$ . Entonces se puede elegir una secuencia de números reales positivos suficientemente pequeños $(\epsilon_n)$ tal que $t_n+\epsilon_n\in\mathbb{Q}$ y $$h_n^{-1}\circ R_{t_n+\epsilon_n}\circ h_n\to g, \quad \text{in the } C^\infty\text{-topology}.$$

Por último, puesto que $t_n+\epsilon_n\in\mathbb{Q}$ tenemos que $h_n^{-1}\circ R_{t_n+\epsilon_n}\circ h_n\in Y$ y en consecuencia, $g\in\overline{Y}$ .