¿Una función que es convexa en una variable no puede alcanzar el máximo?

Question

Esta cuestión surgió al estudiar las condiciones "agradables" de los Lagrangianos. Sea $L : \mathbb{R}^n \times \mathbb{R}^n \times \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ (escribamos $L(x, v, t)$ ) sea convexa en $v$ (para cualquier $x, t$ ). ¿Es cierto que cualquier extremo de $L$ debe ser o un mínimo global, o un punto de silla de montar? En particular, $L$ no puede alcanzar un máximo?

Lo pregunto porque las ecuaciones de Euler-Lagrange son equivalentes a ser un punto crítico del funcional de acción, pero generalmente queremos minimizar (al menos, que yo sepa) la acción, y por eso me pregunto bajo qué condiciones obtenemos punto crítico $\implies$ mínimo. He visto convexidad en el $v$ -variable como supuesto antes. ¿Por qué en esta variable? ¿Qué pasa con $x$ o $t$ ?

Muchas gracias por cualquier ayuda.

Answer 1

La respuesta a su pregunta es negativa. Si $L(x,v,t)$ tiene un máximo en $(x^*,v^*,t^*)$ entonces la función convexa $f(t) = (x^*,v^*,t)$ tiene un máximo en $t^*$ que es una función convexa con dominio $\mathbb{R}$ no puede tener (a menos que la función sea constante).