La teoría de Floquet es el estudio de las soluciones (cuasi)-periódicas de la ecuación de Schrödinger dependiente del tiempo cuando el sistema está sometido a un Hamiltoniano tiempo-periódico. $\newcommand{\ket}[1]{\left|#1\right\rangle}$
Es decir, supongamos que tenemos un sistema bajo el Hamiltoniano dependiente del tiempo $\hat H(t)=\hat H(t+T)$ . Se puede demostrar que, debido a esta simetría, deben existir soluciones de la ecuación de Schrödinger $i \partial_t \ket{\psi(t)} = \hat H(t)\ket{\psi(t)}$ de la forma $$ \ket{\Psi_\varepsilon(t)}=e^{-i\varepsilon t}\ket{\Phi(t)}, $$ donde $\ket{\Phi(t)}$ es periódica en el tiempo y $\varepsilon$ se conoce como cuasienergía de Floquet. En este formalismo, se buscan soluciones periódicas de la ecuación $$ \left[i\partial_t - \varepsilon -\hat H(t)\right]\ket{\Phi(t)}=0, $$ que es algo más fácil de resolver (ya que puede verse como una ecuación de valores propios para un operador diferencial sobre un dominio mayor, en lugar de una ecuación de Schrödinger dependiente del tiempo como tal).
Además, como forma de analizar esta solución, al ser periódica, es bastante común representar $\ket{\Phi(t)}$ en términos de su serie de Fourier: $$ \ket{\Phi(t)} = \sum_{n} e^{-in\omega t} \ket{\Phi_n}. $$ ¿Cuál es el significado físico de los coeficientes de Fourier $\ket{\Phi_n }$ ? ¿Son soluciones de una ecuación de Schrödinger por sí solas? * ¿Tienen una relación sencilla con el Hamiltoniano original? ¿Admiten una imagen física sencilla (por ejemplo, en términos de absorción de fotones)? ¿Qué papel desempeña, por ejemplo, su función de onda espacial $\left\langle \mathbf r \middle | \Phi_n\right\rangle$ juego (o, más en general, la "dirección" de $\ket{\Phi_n}$ en el espacio de Hilbert), y ¿qué significado físico tiene?
*Pensándolo bien, es casi seguro que no sea así. Limpieza del §5.5.1 de estas notas sobre Sistemas cuánticos dirigidos por Peter Hänggi los coeficientes de Fourier $\ket{\Phi_n}$ como se define aquí obedecen a un conjunto de acoplado Schrödinger independiente del tiempo e $$ \sum_{k=-\infty}^\infty \hat{H}_{k}\ket{\Phi_{n+k}} = (\varepsilon +n\omega)\ket{\Phi_n} $$ donde los Hamiltonianos y acoplamientos, $\hat{H}_n = \frac1T \int_0^T \hat H(t) e^{in\omega t}\mathrm d t$ son las componentes de Fourier del hamiltoniano original. (Además, si $\hat H(t)$ es razonablemente armónico, por ejemplo, con sólo una dependencia sinusoidal de $t$ entonces sólo unos pocos acoplamientos con muy baja $k$ será distinto de cero).
Teniendo esto en cuenta, parece muy poco probable que la dinámica del $\ket{\Phi_n}$ pueden reformularse en TISEs desacopladas para cada una de ellas, y desde luego no en el caso general. Además, dada la presencia de los acoplamientos, no está nada claro cómo se puede extraer un significado físico para las $\ket{\Phi_n}$ de las TISEs acopladas.
También: me quito el sombrero ante Kevin Tham por señalando estas notas en un comentario a esta pregunta .
