Un irreductible $f\in \mathbb{Z}[x]$, cuya imagen en todas las $(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})[x]$ tiene una raíz?

Question

Problema: hay una irreductible $f\in \mathbb{Z}[x]$, cuya imagen en todas las $(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})[x]$ tiene una raíz para $p$ prime? Si la hay, ¿cuál es el mínimo grado posible?

Sólo puedo demostrar que $x^2-c$ es imposible, por la reciprocidad cuadrática y teorema del resto Chino. Incluso en el caso de $a x^2 - c$ es desconocido para mí.

Mientras tanto, si $f$ no está obligado a ser irreductible, pero sólo no tienen raíz en $\mathbb{Z}$, $(x^2-a)(x^2-b)(x^2-ab)$ es una solución para no sqaure $a,b,ab$, ya que si ambos $a,b$ no son plazas en $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$, $ab$ es un cuadrado. Sin embargo, yo todavía no sé si este es de un mínimo grado.

También, es natural que se plantean generalizaciones

1. Al $p$ no es necesariamente el primer (de forma equivalente para todos el primer poderes).
2. Al $p$ es impar prime.
3. Al $p$ representa suficientemente grandes números primos (de forma equivalente, todas, pero un número finito de la izquierda).

Answer 1

No. De hecho, si $f$ es un polinomio irreducible de grado, al menos,$2$, entonces hay una infinidad de números primos $p$ tal que $f$ no tiene una raíz $\bmod p$.

El argumento es estándar y se va como sigue. Un teorema de Dedekind afirma que si $f$ factores como producto $\prod f_i(x) \bmod p$ de polinomios irreducibles, y si $p$ no dividir el discriminante de $f$, a continuación, algunos de los elementos del grupo de Galois de $f$ tipo de ciclo $(\deg f_1, \deg f_2, ...)$. El Frobenius densidad teorema (una versión más débil de la Chebotarev densidad teorema) afirma que la conversación se mantiene en el siguiente sentido: si algún elemento del grupo de Galois de $f$ tiene un determinado tipo de ciclo, luego de un positivo proporción de números primos tiene la propiedad de que la factorización de $f \bmod p$ tiene el mismo tipo de ciclo. En particular, si algún elemento del grupo de Galois de $f$ no tiene puntos fijos, luego de un positivo proporción de números primos tiene la propiedad de que $f$ no tiene raíces $\bmod p$.

Pero el grupo de Galois de $f$ actúa transitivamente sobre sus raíces, y tenemos el siguiente resultado general.

Lema: Vamos a $G$ ser finito grupo que actúa transitivamente sobre un conjunto $S$ de tamaño mayor que $1$. A continuación, algunos de los $g \in G$ no tiene un punto fijo.

Prueba. Por Burnside del lema,

$$1 = \frac{1}{|G|} \sum_{g \in G} |\text{Fix}(g)|$$

por lo que el número promedio de puntos fijos de un elemento aleatorio de $G$$1$. Por otro lado, $\text{id} \in G$ $|S| > 1$ puntos fijos. Por lo tanto, algunos elementos deben de tener menos de $1$ punto fijo, lo cual solo puede significar que no tiene puntos fijos. $\Box$

La conclusión de la siguiente manera.

Answer 2

Busca en el grupo de Galois del polinomio como un subgrupo $G$$S_n$, podemos traducir sus necesidades como las condiciones en $G$ :

(i) $f$ tiene una raíz mod $p$ por cada prime $p$ fib cada elemento de a $G$ tiene un punto fijo (por Cebotarev del teorema)
(ii) $f$ es irreducible en a $\Bbb Q[x]$ fib $G$ es transitiva.
(iii) $f$ tiene una raíz racional iff cada elemento de a $G$ tiene un común punto fijo.

No creo que satisfactorio (i) y (ii) es posible.

$(x^2-a)(x^2-b)(x^2-ab)$ da el subgrupo de $S_6$ generado por $(12)(34)$$(12)(56)$. Satisface (i) y no (iii).

También podemos lograr (i) y no (iii) por $n=5$ mediante $G$ generado por $(123)$$(12)(45)$. Por ejemplo, con algo parecido a $f(x) = (x^3-x+1)(x^2+23)$

Finalmente, podemos enumerar los posibles subgrupos de $S_2,S_3,S_4$ comprobar que ninguno de ellos satisface (i) y no (iii), por lo $n=5$ es el mínimo grado posible.