Formas cuadráticas cuaternarias y curvas elípticas a través de Langlands?

Question

El contenido de esta nota fue el tema de una conferencia de Günter Harder en la Escuela de Formas Automórficas, Trieste 2000. El problema en sí procede del artículo Un poco de teoría de números por Langlands.

El problema se refiere a una conexión entre dos objetos bastante diferentes. El primer objeto es el siguiente par de formas cuadráticas definidas positivas: $$P(x,y,u,v) = x^2 + xy + 3y^2 + u^2 + uv + 3v^2$$ $$Q(x,y,u,v) = 2(x^2 + y^2 + u^2 + v^2) + 2xu + xv + yu - 2yv$$ El segundo objeto es la curva elíptica $$E: y^2 + y = x^3 - x^2 - 10x - 20.$$

A cada uno de nuestros objetos le asociamos ahora una serie de números enteros. Para cada entero $k \ge 0$ defina $$n(P,k) = | \{(a,b,c,d) \in {\mathbb Z}^4: P(a,b,c,d) = k\} |,$$ $$n(Q,k) = | \{(a,b,c,d) \in {\mathbb Z}^4: Q(a,b,c,d) = k\} |.$$

De hecho, estos números enteros son divisibles por $4$ para cualquier $k \ge 1$ debido a las transformaciones $(a,b,c,d) \to (-a,-b,-c,-d)$ et $(a,b,c,d) \to (c,d,a,b)$ .

Para cualquier primo $p \ne 11$ ahora ponemos $$a_p = |E({\mathbb F}_p)| - (p+1),$$ donde $E({\mathbb F}_p)$ es la curva elíptica sobre ${\mathbb F}_p$ definido anteriormente.

Entonces Langlands afirma

Para cualquier primo $p \ne 11$ tenemos $4a_p = n(P,p) - n(Q,p).$

La explicación "clásica" procede del siguiente modo: Dada la serie de enteros $n(P,p)$ y $n(Q,p)$ formamos la serie generatriz $$\Theta_P(q) = \sum \limits_{k=0}^\infty n(P,k) q^k = 1 + 4q + 4q^2 + 8q^3 + \ldots,$$ $$\Theta_Q(q) = \sum \limits_{k=0}^\infty n(Q,k) q^k = 1 + 12q^2 + 12q^3 + \ldots.$$ Si ponemos $q = e^{2\pi i z}$ para $z$ en el semiplano superior, entonces $\Theta_P$ y $\Theta_Q$ ${\mathbb Z}$ -periódicas holomorfas en el semiplano superior. De hecho, la teoría clásica de las formas modulares muestra que la función $$f(z) = \frac14 (\Theta_P(q) - \Theta_Q(q)) = q - 2q^2 - q^3 + 2q^4 + q^5 + 2q^6 - 2q^7 - 2q^9 - 2q^{10} + q^{11} - 2q^{12} \ldots$$ es una forma modular (de hecho, una forma cúspide, ya que desaparece en $\infty$ ) de peso $2$ para $\Gamma_0(11)$ . Más concretamente, tenemos $f(z) = \eta(z)^2 \eta(11z)^2,$ donde $\eta(z)$ es la función eta de Dedekind, una forma modular de peso $\frac12$ .

Ahora hemos conectado las formas cuadráticas a una forma de cúspide para $\Gamma_0(11)$ . Este grupo tiene dos órbitas en la recta proyectiva sobre los racionales, lo que significa que la superficie de Riemann asociada puede compactarse añadiendo dos focos: el resultado es una superficie de Riemann compacta $X_0(11)$ del género $1$ . Fricke ya ha dado un modelo para esta superficie de Riemann: encontró que $X_0(11) \simeq E$ para la curva elíptica definida anteriormente.

Consideremos ahora el espacio de formas de cúspide para $\Gamma_0(11)$ . Existen operadores de Hecke $T_p$ actuando sobre ella, y como tiene dimensión $1$ debemos tener $T_p f = \lambda_p f$ para determinados valores propios $\lambda_p \in {\mathbb Z}$ . Un resultado clásico debido a Hecke predice entonces que el valor propio $\lambda_p$ est le $p$ -ésimo coeficiente en el $q$ -ampliación de $f(z)$ . Eichler-Shimura nos dice finalmente que $\lambda_p = a_p$ . Poniendo todo junto da la afirmación de Langlands.

Hace tiempo le pregunté a Harder cómo se deducía todo esto de la conjetura general de Langlands, y me contestó que no lo sabía. El propio Langlands dijo que sus ejemplos procedían "de 16 de Jacquet-Langlands". Así que ésta es mi pregunta:

¿Alguien aquí sabe cómo soñar con resultados concretos como el anterior a partir de las conjeturas de Langlands, o del "16 de Jacquet-Langlands"?

Answer 1

El capítulo 16 de Jacquet--Langlands trata de la correspondencia Jacquet--Langlands, que se refiere a la transferencia de formas automórficas de álgebras de cuaterniones al grupo $GL_2$ . La modularidad de la serie theta que escribes es un caso (muy) especial de esta correspondencia.

Pero probablemente Langlands tenía más en mente ir en la otra dirección, en el siguiente sentido: en el capítulo 16, Jacquet y Langlands no sólo demuestran la existencia de la transferencia, sino que caracterizan su imagen. En particular, sus resultados muestran que la forma modular $f$ está en la imagen de transferencia de el álgebra de cuaterniones definida $D_{11}$ ramificado en $\infty$ y 11. Así que uno sabe {\em a priori} que tiene que haber una fórmula que relacione $f$ a la $\Theta$ -de algunas formas cuadráticas de rango cuatro asociadas a $D_{11}$ entonces es fácil calcularlos con precisión con precisión (aquí se utiliza el hecho de que $f$ es una eigenforma de Hecke, y la compatibilidad de con la acción de Hecke), se obtiene la fórmula $f = (\Theta_P - \Theta_Q)/4.$

La cuestión de caracterizar la imagen de la transferencia es una interpretación automórfica de lo que clásicamente se denomina a veces el problema de la base de Eichler: el problema de calcular el intervalo de las series theta que surgen de álgebras de cuaterniones definidas. El nombre proviene del hecho de que el caso particular considerado aquí (pero con 11 sustituido por un primo arbitrario $p$ ), a saber, el hecho de que las formas modulares de peso dos y conductor primo $p$ son abarcados por series theta procedentes de $D_p$ Creo que Eichler lo demostró por primera vez en 1955.

Answer 2

Me gustaría añadir a la respuesta de Emerton que Eichler dio una prueba para el nivel libre cuadrado en Funciones modulares de una variable I, Springer Lecture Notes 320.

Otros trabajos clásicos sobre el problema de la base se encuentran en:

MR0960090 (90d:11056) Hijikata, Hiroaki; Pizer, Arnold K.; Shemanske, Thomas R. El problema de la base para formas modulares sobre $\Gamma_0(N)$ . Mem. Amer. Math. Soc. 82 (1989), no. 418

Otra referencia más:

MR0333081 (48 #11406) Shimizu, Hideo Series Theta y formas automórficas en ${\rm GL}_{2}$ . J. Math. Soc. Japan 24 (1972), 638--683