demostrar que $\{Lx:\|x\|\leq 1 \}=\mathbb{C}$

Question

Sea $X$ sea un espacio lineal normado sobre $\mathbb{C}$ . Si un funcional lineal $L$ en $X$ no es continua, demuestre que $\{Lx:\|x\|\leq 1 \}=\mathbb{C}$

Claramente $\{Lx:\|x\|\leq 1 \}\subseteq \mathbb{C}$ . Para otra inclusión, sea $z\in \mathbb{C}$ . Desde $L$ no es continua $L$ no está acotada. Por lo tanto, existe $x_0\in X$ tal que $|L(x_0)|> |z|\|x_0\|$ . Quería demostrar que $L(x_0)=z$ y $\|x_0\|\leq 1$ . Pero me quedé atascado. ¿Estoy en el camino equivocado? ¿Puede alguien ayudarme?

Answer 1

Vas por buen camino. Dada la desigualdad, $L(x_0)>|z|\|x_0\|$ se puede dividir por $\|x_0\|$ en ambos lados para obtener $L(x)>|z|$ para un vector $x$ con $\|x\|=1$ . Ahora intente modificar $x$ un poco más (por ejemplo, reduciéndolo) para encontrar un vector que se corresponda con $z$ exactamente.

Answer 2

Sea $B$ sea la bola unitaria cerrada.

Si $LB = \mathbb{C}$ entonces existe una secuencia $x_n \in B$ tal que $|Lx_n| > n$ . Entonces ${1 \over n} x_n \to 0$ pero $L ({1 \over n} x_n) \not\to 0$ Por lo tanto $L$ no es continua.

Supongamos que $L$ no es continua. Entonces existe una secuencia $x_n \to 0$ tal que $|Lx_n| \ge 1$ para todos $n$ . Sea $y_n = {1 \over \|x_n\|} x_n$ entonces $y_n \in B$ y $|L y_n| \ge {1 \over \|x_n\|}$ en particular, $\lim_{n \to \infty} |L y_n | = \infty$ .

Por linealidad tenemos $0 \in LB$ . Ahora elige $\alpha \in \mathbb{C}\setminus \{0\}$ y $n$ tal que $|L y_n | \ge |\alpha|$ . Sea $z = { \alpha \over L y_n } y_n$ entonces $z \in B$ y $Lz = \alpha$ . Por lo tanto $LB = \mathbb{C}$ .