Superficie de dos cilindros Cálculo 3

Question

Hallar la superficie de dos cilindros $$y^2 + z^2 = 1$$ y $$x^2 + y^2 = 1$$

Hasta ahora he puesto las dos ecuaciones iguales $$x= \pm z$$ y $$y= \sqrt{(1-z^2)}$$ Estoy un poco confundido sobre cómo configurar el problema de integración. Hasta ahora tengo $$1/\sqrt{(1-z^2)}dy$$ de 0 a 1 y no estoy seguro de que sea el enfoque correcto.

Answer 1

La superficie es $$S=2\int\int_D \sqrt{1+f_x^2+f_y^2}dxdy$$ donde $z=f=\sqrt{1-y^2}$ y así $f_y=\frac{-y}{\sqrt{1-y^2}}$ así que $$S=2\int\int_D \sqrt{1+\frac{y^2}{1-y^2}}dxdy=2\int_{-1}^1\int_{-\sqrt{1-y^2}}^\sqrt{1-y^2} \frac{1}{\sqrt{1-y^2}}dxdy \\=2\int_{-1}^12dy=8 $$

Answer 2

Otra forma de hallarlo es integrando en las longitudes de las intersecciones de la superficie de interés y los planos de la forma $y=k$ para $-1\leq k \leq 1$ . Hace tiempo que no lo pruebo pero ahí va. Las secciones parecen paréntesis unidos por arriba y abajo planos. Parametrizando uno de los cilindros con $\theta$ la longitud de la parte que parece un paréntesis es $4\theta$ (aquí $\theta$ está en radianes, por supuesto :)). Los segmentos superior e inferior suman $4\cos(\theta)$ . Integración de $\theta=0$ a $\theta=\frac{\pi}{2}$ : $$\int_0^\frac{\pi}{2} 8(\theta + \cos(\theta))d\theta=\pi^2+8$$

No estoy seguro al 100% de esta respuesta, pero se puede comparar con la superficie del tambor sin restricciones, que es la siguiente $6\pi$ .