Reescalado de formas cuadráticas ternarias

Question

Estaba leyendo sobre el símbolo de residuo de Hilbert, y la discusión comienza con la suposición de que podemos reformatear cualquier forma cuadrática ternaria sobre los números enteros en la forma

$ax^2+by^2-z^2, a,b\in\mathbb{Z}$

diagonalizando primero y reescalando después. He conseguido resolver la parte de la diagonalización, pero estoy perdido con el reescalado. Entiendo cómo asegurarse de que los 3 coeficientes son coprime y squarefree, pero después de eso, por ejemplo, cuando se deja con algo como

$3x^2+5y^2-7z^2$

Estoy perdido.

Answer 1

Para un tratamiento completo de un ternario utilizando el símbolo de residuo de norma de Hilbert, véanse mis dos respuestas en Isotropía sobre $p$ -números radicales

Tengo que admitirlo, nunca pensé en la simple manipulación del comentario de KCd; es muy posible que sea todo lo que realmente necesitas. Es exactamente lo que Cassels está diciendo en la página 59, prueba del Lemma 2.5, yo no lo junté.

Mientras tanto, muchos libros, entre ellos Cassels detallan el teorema de Legendre que dice que cuando una diagonal ternaria $a x^2 + b y^2 + c z^2$ con números enteros $a,b,c$ tiene un cero entero no trivial $(x,y,z).$ Página 80 de Cassels, Teorema 4.1, donde comenta (a mitad de la página 82) que las condiciones (ii), (iii) son innecesarias si se sustituyen por la hipótesis de que la forma sea indefinida. Me gusta la redacción de la condición (i), deja bastante claro que cada primo impar que divide cualquiera de $a,b,c$ asuntos; ya está exigiendo el producto $abc$ libre de cuadrados, por lo que a lo sumo uno es par. Aquí hay una pregunta MSE con una redacción diferente de Legendre, la insistencia en coeficientes relativamente primos es realmente toda la historia en esta versión: Demostración del teorema de Legendre sobre la forma cuadrática ternaria