Ha mi comprensión de un set de generación de energía ha estado equivocada todo este tiempo?

Question

Mi comprensión de la generación del sistema (de manera informal) fue la siguiente

Elegir cualquier número de elementos, decir $g_1, g_2, \dotso, g_n$, en un grupo finito $G$. El conjunto de todos los elementos producidos por un número finito de producto de la combinación de cualquiera de estos elementos se denomina la generación de conjunto de los elementos $g_1, g_2, \dotso, g_n$.

Sin embargo, las notas del curso tuvieron la siguiente definición de un set de generación de energía.

Si $S \subseteq$ G es un subconjunto, a continuación, defina $S^{-1} = \left ( s^{-1} | s \in S \right )$ y deje $\langle S \rangle$ denota el conjunto de todos los elementos de a $G$ que puede ser escrito como finito productos de los elementos de $S \bigcup S^{-1}.$

Me estoy perdiendo de algo en mi comprensión de la generación del sistema? Porque en mi entendimiento de que no hay absolutamente nada que hacer con la inversa de los elementos, mientras que las notas del curso hace mención de ellos por alguna razón.

Answer 1

El libro de definición de las obras con infinidad de grupos, también. En el caso finito, si usted tiene $g$,$g^{-1}=g^{|G|-1}$, por lo que no es necesario agregar específicamente inversos para el proceso de generación.

Answer 2

En primer lugar parece que se han confundido dos cosas en un "generador" y el "subgrupo generado por". En mi opinión, la definición correcta de cada uno es la siguiente: Un subconjunto $S$ de un grupo de $G$ es un generador de $G$ si por cualquier subgrupo $H$ $G$ si $S \subseteq H$$H=G$. Mientras que si $S$ es un subconjunto de un grupo de $G$, el subgrupo generado por a $S$, a menudo denotado $\langle S\rangle$, es el más pequeño subgrupo de $G$ contiene $S$.

Los dos conceptos están relacionados, por supuesto. Un subconjunto $S$ es un grupo electrógeno $G$ si y sólo si el subgrupo generado por a$S$$G$.

Finalmente, uno podría estar interesado en la construcción del subgrupo generado por a $S$. Trivialmente $\langle S\rangle = \cap\{S|S\subseteq H \leq G\}$. Si uno prefiere uno puede construir inductivamente $S_0=\{e\}\cup S$, $S_n = \{x^{-1}y\,|\,x,y \in S_{n-1}\} \cup S_{n-1}$, a continuación, $\langle S \rangle = \cup \{S_i|i\in \mathbb{N}\}$ o una de muchas otras formas equivalentes. Sin embargo, como se mencionó en la respuesta por Thomas Andrews anterior, cuando se $G$ es finito uno puede simplemente tomar $S_0=S$, $S_n=\{xy\,|\,x\in S,y\in S_{n-1}\}\cup S_{n-1}$ y, a continuación, $\langle S\rangle = S_{|G|}$ que corresponde a lo que se describe anteriormente.

Answer 3

Aquí está un ejemplo para mostrar por qué es importante incluir los inversos de los elementos de $S$ al describir el subgrupo generado.

Si usted llevó a $(\Bbb Z,+)$ y tome $S=\{1\}$, el conjunto finito de productos (leer sumas de dinero ya que la operación está escrito de forma aditiva) sólo se consigue $\Bbb N$. (Usted todavía consigue $0$ como un vacío de la suma de $1$'s.)

Cuando sólo se utilizan los elementos de $S$, y las operaciones de generar un subconjunto de un subgrupo, sólo está garantizado para conseguir el monoid generado por $S$. Tienes que deshacerte de inversas en orden a conseguir el resto.