Obtención de una expansión en serie para una integral

Question

Intento obtener una expansión en serie para la integral $\int_0^{1/2} dx/(1+x^4)$ Hasta ahora he utilizado el hecho para una serie Geométrica $\sum_{k=0}^\infty r^k = \frac{1}{1-r}$ si $\lvert{r}\rvert<1$ y sustituido $r$ con $-x^4$ y consiguió $\frac{1}{1+x^4} = \sum_{k=1}^\infty (-1)^k x^{4k}$ si $\lvert{x}\rvert<1$

Estoy un poco inseguro de si esto es incluso una respuesta o que si tengo que ir por un camino diferente con el fin de resolver este problema. Si alguien pudiera decirme qué hacer además de esto o qué hacer de manera diferente o simplemente mostrarme cómo hacer este tipo de problemas sería muy apreciado. Gracias.

Answer 1

Sí, tu enfoque nos parece bien.

Integrando término a término, tu integral es igual a $$\sum_{n\ge\color{red}{0}}\frac{(-1)^k}{4k+1}\frac1{2^{4k+1}}$$

Dudo que exista una buena forma cerrada...

Answer 2

Demasiado largo para un comentario al margen.

En $$\int_0^a \frac{dx}{1+x^4}=\sum_{k=0}^\infty (-1)^k\frac{a^{4k+1}}{4k+1}$$ podría ser interesante conocer de antemano el número $n$ de términos a sumar para tener $p$ cifras significativas correctas.

Dicho esto, queremos saber $n$ tal que $$\frac{a^{4n+5}}{4n+5}\leq 10^{-p}$$ La solución para la igualdad viene dada en términos de Función de Lambert y escribe $$n=-\frac{5}{4}-\frac{W\left(-10^p \log (a)\right)}{4 \log (a)}$$ y utilizaremos $\lceil n\rceil$ para los cálculos.

Si, como en tu caso, $a<1$ Si nos enfrentamos a un argumento grande, podemos evaluar el valor de la función de Lambert utilizando la expansión dada en la página enlazada de Wikipedia $$W(x)=L_1-L_2+\frac{L_2}{L_1}+\frac{L_2(L_2-2)}{2L_1^2}+\frac{L_2(6-9L_2+2L_2^2)}{6L_1^3}+\cdots$$ donde $L_1=\log(x)$ y $L_2=\log(L_1)$ .

El siguiente cuadro muestra los resultados de varios $p$ $$\left( \begin{array}{ccc} p & \lceil n\rceil & \sum_{k=0}^n\frac{(-1)^k}{(4k+1)\,2^{4k+1}} \\ 1 & 0 & 0.50000000000000000000 \\ 2 & 0 & 0.50000000000000000000 \\ 3 & 1 & 0.49375000000000000000 \\ 4 & 2 & 0.49396701388888888889 \\ 5 & 2 & 0.49396701388888888889 \\ 6 & 3 & 0.49395762386485042735 \\ 7 & 4 & 0.49395807265276403029 \\ 8 & 5 & 0.49395804994623268729 \\ 9 & 6 & 0.49395805113832558279 \\ 10 & 6 & 0.49395805113832558279 \\ 11 & 7 & 0.49395805107409643972 \\ 12 & 8 & 0.49395805107762417674 \\ 13 & 9 & 0.49395805107742752924 \\ 14 & 10 & 0.49395805107743862064 \\ 15 & 10 & 0.49395805107743862064 \\ 16 & 11 & 0.49395805107743798904 \\ 17 & 12 & 0.49395805107743802530 \\ 18 & 13 & 0.49395805107743802320 \\ 19 & 14 & 0.49395805107743802332 \\ 20 & 14 & 0.49395805107743802332 \end{array} \right)$$

Editar

Para $a=\frac 12$ las regresiones lineales rápidas y sucias dan $$n=0.779\,p-1.836 \qquad \text{and} \qquad p= 1.283\, n+2.362$$ demostrando, como comentaba robjohn, que "debería haber aproximadamente $1.2$ dígitos añadidos para cada término de la serie". .

Answer 3

Función beta incompleta $$ \begin{align} \int_0^{1/2}\frac{\mathrm{d}x}{1+x^4} &=\frac14\int_0^{1/16}\frac{x^{-3/4}\,\mathrm{d}x}{1+x}\\ &=\bbox[5px,border:2px solid #C0A000]{\operatorname{B}\left(\frac1{17};\frac14,\frac34\right)} \end{align} $$ Fracciones parciales con $\alpha^2=i$ es decir $\alpha=\frac{1+i}{\sqrt2}$ y $\alpha^3=\frac{-1+i}{\sqrt2}$ $$ \begin{align} \int_0^{1/2}\frac{\mathrm{d}x}{1+x^4} &=\int_0^{1/2}\frac12\left(\frac1{1-i^3x^2}+\frac1{1-ix^2}\right)\mathrm{d}x\\ &=\int_0^{1/2}\frac14\left(\frac1{1-\alpha^3x}+\frac1{1+\alpha^3x}+\frac1{1-\alpha x}+\frac1{1+\alpha x}\right)\mathrm{d}x\\ &=\frac1{4\alpha^3}\int_0^{\alpha^3/2}\left(\frac1{1-x}+\frac1{1+x}\right)\mathrm{d}x\\ &+\frac1{4\alpha}\int_0^{\alpha/2}\left(\frac1{1-x}+\frac1{1+x}\right)\mathrm{d}x\\ &=\frac1{4\alpha^3}\log\left(\frac{1+\alpha^3/2}{1-\alpha^3/2}\right)+\frac1{4\alpha}\log\left(\frac{1+\alpha/2}{1-\alpha/2}\right)\\ &=\frac{-1-i}{4\sqrt2}\log\left(\frac{2\sqrt2-1+i}{2\sqrt2+1-i}\right)+\frac{1-i}{4\sqrt2}\log\left(\frac{2\sqrt2+1+i}{2\sqrt2-1-i}\right)\\ &=\frac1{4\sqrt2}\log\left(\frac{5+2\sqrt2}{5-2\sqrt2}\right) +\frac1{2\sqrt2}\arctan\left(\frac{2\sqrt2}3\right)\\ &=\bbox[5px,border:2px solid #C0A000]{\frac{\log\left(\frac{33+20\sqrt2}{17}\right)+\arctan\left(12\sqrt2\right)}{4\sqrt2}} \end{align} $$