Demostrar que un toro estándar es difeomorfo a $ \mathbb S^1\times \mathbb S^1$

Question

Me pidieron que demostrara que un toro estándar (lo que significa que no consideramos esos casos patológicos en los que se interseca consigo mismo, por ejemplo, el toro de Hornos) es difeomorfo a $ \mathbb S^1\times \mathbb S^1$ .

Estaba pensando si podríamos probarlo de esta manera: Dado que cada punto del toro puede definirse unívocamente con un par de ángulos $(\theta_1, \theta_2)$ . Entonces construimos un difeomorfismo $\phi(\theta_1, \theta_2)=(\tilde{\theta}_1 ,\tilde{\theta}_2)$ que asigna cada punto del toroide a cada punto de $\mathbb S^1 \times \mathbb S^1$ . Ya que el mapa es definitivamente biyectivo y suave con una inversa suave. Básicamente hemos terminado...

CREO QUE DEBE HABER ALGO MAL.

Muchas gracias a todos por vuestra ayuda.

Answer 1

Para completar: $$F(\theta,\phi) = (a\cos\theta,a\sin\theta,0)+(0,b\cos\phi,b\sin\phi)$$ es una biyección entre $S^1\times S^1$ y el toroide como subconjunto de $\mathbb R^3$ . Cosas que comprobar:

1. $F$ es suave
2. $F$ es una biyección
3. La inversa de $F$ es suave.

La parte 3 es más difícil que la 1 y la 2. Un enfoque consiste en demostrar que la matriz derivada $DF$ tiene rango 2, lo que permite utilizar el teorema de la función inversa.

El hecho de que el toro estándar sea efectivamente un submanifold de $\mathbb R^3$ puede demostrarse considerando su ecuación no paramétrica $(\sqrt{x^2+y^2}-a)^2+z^2=b^2$ y utilizando el hecho de que el gradiente del lado izquierdo es distinto de cero en la superficie.