Si ${\rm Im} (T) = \ker (T)$ entonces $T$ es nilpotente.

Question

Tengo que probar, que si ${\rm Im} (T) = \ker (T)$ entonces la matriz de transformación es nilpotente.

¿Cómo puedo hacerlo?

Conozco el teorema de Rank-nulidad:

Si $T: V \to W$ entonces $\dim{\rm Im}(T) + \dim \ker (T) =\dim V$

En este caso: $2 \dim{\rm Im} (T) = 2 \dim \ker (T) = \dim V$

No veo cómo probar que $T$ es nilpotente.

Answer 1

Observe que $T(T(v))=0$ para todos $v\in V$ . Por lo tanto $T$ es nilpotente.

Answer 2

Veamos $T(T(v))$ para cualquier vector $v$ . Desde $T(v)$ está en $Im\;T=Ker\;T$ , aplicando $T$ en él dará lugar a $0$ por definición de $Ker\;T$