Como dice Qiaochu, la clave aquí es que el producto directo de grupos abelianos finitamente numerosos funciona como producto (categórico) y coproducto (categórico) en la categoría de grupos abelianos.
Y antes de que se te pongan los ojos vidriosos, lo que eso significa es que:
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Un homomorfismo de un grupo abeliano $A$ en un producto directo (finito) $G_1\times G_2\times\cdots\times G_n$ de grupos abelianos es equivalente a una familia $f_1,\ldots,f_n$ de homomorfismos $f_i\colon A\to G_i$ (de hecho, esto es válido para grupos arbitrarios y para un número arbitrario de factores directos, no sólo para un número finito); y
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Un homomorfismo de un producto directo finito $G_1\times G_2\times\cdots\times G_n$ de grupos abelianos en un grupo abeliano $B$ es equivalente a una familia $g_1,\ldots,g_n$ de homomorfismos $g_i\colon G_i\to B$ (aquí do necesitan tanto finitud como abelianidad).
La primera equivalencia es fácil: dado un mapa $f\colon A\to G_1\times\cdots\times G_n$ los mapas $f_i$ no son más que las composiciones de $f$ con las proyecciones canónicas $\pi_i\colon G_1\times\cdots\times G_n\to G_i$ ; yendo en sentido contrario, dada una familia $f_1,\ldots,f_n$ de mapas, se obtiene el mapa $A\to G_1\times\cdots\times G_n$ por $f(a) = (f_1(a),f_2(a),\ldots,f_n(a))$ .
Para la segunda equivalencia, dado un homomorfismo $g\colon G_1\times\cdots\times G_n\to B$ definimos los mapas $g_i\colon G_i\to B$ restringiendo $g$ al subgrupo $\{0\}\times\cdots \times \{0\}\times B_i\times\{0\}\times\cdots\times\{0\}$ . A la inversa, dada una familia de homomorfismos $g_1,\ldots,g_n$ construimos el mapa $g$ por $g(x_1,\ldots,x_n) = g_1(x_1)+g_2(x_2)+\cdots+g_n(x_n)$ En este caso, tanto el hecho de que el producto sólo tenga un número finito de factores como el de que los grupos sean abelianos son importantes.
Ahora dejemos que $A=B=G_1\times\cdots\times G_n$ . Entonces, un homomorfismo de $A$ a $B$ es equivalente, por 1, a una familia de homomorfismos $\Phi_j\colon A\to G_j$ . Y por 2, cada $\Phi_j$ es equivalente a una familia de homomorfismos $\phi_{ij}\colon G_i\to G_j$ . Así, cada homomorfismo de $A$ a $B$ es equivalente a una familia $\{\phi_{ij}\mid 1\leq i,j\leq n\}$ con $\phi_{ij}\colon G_i\to G_j$ .
Ahora supongamos que tienes dos homomorfismos, $\Phi,\Psi\colon A\to B$ y quieres componerlos. Si $\Phi$ corresponde a $\{\phi_{ij}\}$ y $\Psi$ corresponde a $\{\psi_{ij}\}$ a qué corresponde la composición en términos de mapas $G_i\to G_j$ ?
Si se rastrea la correspondencia cuidadosamente, se encontrará que el mapa inducido de $G_i$ a $G_j$ es precisamente $$\psi_{i1}\circ\phi_{1j} + \psi_{i2}\circ\phi_{2j}+\cdots+\psi_{in}\circ\phi_{nj},$$ de modo que si arreglas las familias $\{\phi_{ij}\}$ y $\{\psi_{ij}\}$ en matrices, la composición corresponde a la multiplicación de matrices de la forma habitual (aunque como la composición no es conmutativa, hay que tener en cuenta el orden de los productos.
Una vez que se tiene que los endomorfismos se pueden "codificar" como matrices con composición correspondiente a la multiplicación de matrices, el hecho de que automorfismos corresponden a invertible se deduce inmediatamente. Sin embargo, escribir realmente una fórmula es complicado, porque estas matrices tienen entradas que no conmutan entre sí; incluso en casos sencillos, como intentar hacer algo como $C_{p^{\alpha}}\times C_{p^{\beta}}$ con $\alpha\gt\beta$ escribir la inversa de un automorfismo en términos de sus entradas se convierte en un cálculo con congruencias difícil de escribir como fórmula. Pero no te preocupes, no se te pide una fórmula explícita.
