Esta pregunta es de RMO 2017, la segunda ronda de selección para la OMI en India.
Pregunta: Demostrar que no puede existir una progresión armónica infinita estrictamente creciente formada por términos que sean enteros positivos.
Mi prueba:
Sea el primer término de un HP un número entero positivo $a$ . Supongamos que $$\frac{1}{a}, \frac{1}{a}+d,\frac{1}{a}+2d,\dots (d \in \mathbb R)$$ o $$\frac{1}{a}, \frac{1+ad}{a},\frac{1+2ad}{a},\dots$$ es un PA infinito tal que los recíprocos de sus términos forman un HP estrictamente creciente formado por enteros positivos. Entonces el HP se convierte en $$a,\frac{a}{1+ad},\frac{a}{1+2ad},\frac{a}{1+3ad},\dots$$ Dado que el término $\frac{a}{1+ad}$ es un número entero positivo, $1+ad|a$ . Esto implica que $1+ad$ es un factor de $a$ .
Del mismo modo $1+ad, 1+2ad, 1+3ad, \dots$ son todos factores de $a$ . Pero es imposible que un número tenga infinitos factores a menos que todos $1+ad, 1+2ad, 1+3ad, \dots$ son iguales. Es decir $$1+ad=1+2ad=1+3ad=\dots$$ o $$ad=2ad=3ad=\dots$$ $$\implies ad=0$$ Dado que a es un número positivo, $$d=0$$ Pero si $d=0$ entonces todos los términos de la HP se convierten en 1, lo que contradice la hipótesis de que es estrictamente creciente. Por lo tanto, no existe tal HP.
Por alguna razón, creo que hay un fallo en mi prueba. ¿Es mi prueba correcta? E incluso si lo es, ¿puede utilizarse como prueba rigurosa en un concurso?
