¿Cómo funciona la multiplicación cruzada de la ecuación cuadrática?

Question

¿Cómo funciona la multiplicación cruzada de la ecuación cuadrática?

Si: $$f_1\left(x\right)=a_1x^2+b_1x+c_1=0$$

y: $$f_2\left(x\right)=a_2x^2+b_2x+c_2=0$$

tienen una raíz común, digamos, $\alpha$ por el método de la multiplicación cruzada:

$$\frac{\alpha ^2}{b_1c_2-b_2c_1}=\frac{\alpha }{c_1a_2-c_2a_1}=\frac{1}{a_1b_2-a_2b_1}$$

¿Cómo funciona eso?

Answer 1

El vector $v = (\alpha^2, \alpha, 1)$ es ortogonal a $w_1=(a_1,b_1,c_1)$ y $w_2=(a_2,b_2,c_2)$ y suponiendo que $f_1$ y $f_2$ son independientes esto implica que $v$ es un múltiplo del producto cruzado $w_1 \times w_2$ . Eso es precisamente lo que expresan estas igualdades.

Answer 2

He resuelto la cuestión (para los que se preguntan cómo sale esto : )

Tenemos:

$$f_1\left(x\right)=a_1x^2+b_1x+c_1=0$$

$$f_2\left(x\right)=a_2x^2+b_2x+c_2=0$$

Multiplique $f_1\left(x\right)$ por $a_2$ y $f_2\left(x\right)$ $a_1$ a continuación, utilice el método de eliminación para obtener una parte de la respuesta.

Entonces multiplica $f_1\left(x\right)$ por $b_2$ y $f_2\left(x\right)$ por $b_1$ y de forma similar utilizar el método de eliminación para obtener la segunda parte y luego igualarlas todas simultáneamente.