Convergencia de la suma de $\frac{\sin(nx)}{n+1}$

Question

Tengo mucha curiosidad por la convergencia de la serie $\displaystyle \sum\frac{\sin(nx)}{n+1}$ donde $x$ es un número real. Conozco los casos triviales, como $x=0$ pero no tengo ni idea de cómo resolver los no triviales (sin utilizar el criterio de Dirichlet)

Answer 1

Me enteré ayer por este vídeo que podemos probar, usando algún análisis complejo básico, que $\ \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sin(n x)}{n}\ $ converge para todo $\ x.\ $ Curiosamente, converge exactamente a $\ \frac{\pi - x}{2}.$

Desgraciadamente no puede ahora utiliza el Prueba de comparación de límites con $$\ \frac{\frac{\sin(nx)}{n}}{\frac{\sin(nx)}{n+1}} = \frac{n+1}{n}\overset{n\to\infty}{\to} 1 >0,$$

porque la prueba de comparación de límites requiere $\ \frac{\sin(nx)}{n}\ \geq 0\ $ y $\ \frac{\sin(nx)}{n} \geq 0\ \ \forall\ n\ $ lo cual no es cierto.

Sin embargo, podemos utilizar La prueba de Abel [que nunca he usado antes, ¡así que esto es emocionante!] con $\ a_n = \frac{\sin(nx)}{n}\ $ y $\ b_n = \frac{n}{n-1}\ \left(= 1-\frac{1}{n-1}\right)\ $ que es monótona y acotada, por lo que la prueba de Abel funciona aquí:

$$\sum a_n b_n = \sum\frac{\sin(nx)}{n+1}\ $$

converge.