En una pregunta anterior, ¿El modelo vacío satisface una contradicción? pregunté si el modelo vacío satisface una contradicción. Utilicé una fórmula abierta, $x=x$ . Ahora, pregunto, ¿hay una frase $S$ (es decir, una fórmula cerrada) tal que el modelo vacío satisface tanto $S$ y $\neg S$ ? Creo que no, pero ¿cuál es la prueba?
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
ManuelSchneid3r
Puntos
116
Piense en cómo $\models$ se define en primer lugar: por definición, $\mathcal{A}\models\neg\varphi$ si $\mathcal{A}\not\models\varphi$ . Así pues, el medio excluido en la metateoría impide la situación por la que preguntas: obtener $\mathcal{A}\models\varphi$ y $\mathcal{A}\models\neg\varphi$ necesitaríamos tener ambos $\mathcal{A}\models\varphi$ y $\neg(\mathcal{A}\models\varphi) $ lo cual es imposible.
(Y si no es así como se define $\models$ )
He aquí otra forma de demostrar que el modelo vacío no satisface ambas $\varphi$ y $\lnot \varphi$ cuando $\text{FV}(\varphi) = \varnothing$ . Los modelos vacíos son complicados, vale la pena volver a la definición de $\models$ al trabajar con ellos.
En concreto, utilizo la siguiente definición:
$$ M \models \varphi \;\;\text{if and only if}\;\; M, v \models \varphi \; \text{for all valuations $ v $ of the free variables of $ \varphi $} $$
Sea $M$ ser un modelo; puede estar vacío o no.
Sea $\varphi$ ser un wff; puede estar cerrado o no.
Sea $[\varphi]$ sea el conjunto de todas las asignaciones de $\mathrm{FV}(\varphi)$ al dominio de $M$ en el que $\varphi$ retenciones.
$\varphi$ es una tautología si y sólo si $[\varphi]$ es igual a $(\mathrm{FV}(\varphi) \to M)$ el conjunto de todas las asignaciones sobre sus variables libres.
Supongamos que $M$ está vacía.
Si $\varphi$ contiene alguna variable libre, entonces $[\varphi]$ estará vacío, pero $(\text{FV}(\varphi) \to M)$ también estará vacío, por lo que $\varphi$ será cierto. Tenga en cuenta que $\text{FV}(\lnot \varphi) = \text{FV}(\varphi)$ .
Supongamos que $\varphi$ está cerrado. Esto significa que hay un único mapa, la asignación vacía, en $(\text{FV}(\varphi) \to M)$ . $\varphi$ se mantiene o fracasa en $(M, \varepsilon)$ con $\varepsilon$ siendo la asignación vacía.
Como no puede aguantar y fallar a la vez, es imposible que $M, \varepsilon \models \varphi$ y $M, \varepsilon \models \lnot \varphi$ sea verdadera y, por tanto, imposible para $M \models \varphi$ y $M \models \lnot \varphi$ que ambos sean ciertos.
