El modelo vacío no satisface ni una frase ni su negación.

Question

En una pregunta anterior, ¿El modelo vacío satisface una contradicción? pregunté si el modelo vacío satisface una contradicción. Utilicé una fórmula abierta, $x=x$ . Ahora, pregunto, ¿hay una frase $S$ (es decir, una fórmula cerrada) tal que el modelo vacío satisface tanto $S$ y $\neg S$ ? Creo que no, pero ¿cuál es la prueba?

Answer 1

Piense en cómo $\models$ se define en primer lugar: por definición, $\mathcal{A}\models\neg\varphi$ si $\mathcal{A}\not\models\varphi$ . Así pues, el medio excluido en la metateoría impide la situación por la que preguntas: obtener $\mathcal{A}\models\varphi$ y $\mathcal{A}\models\neg\varphi$ necesitaríamos tener ambos $\mathcal{A}\models\varphi$ y $\neg(\mathcal{A}\models\varphi)$ lo cual es imposible.

(Y si no es así como se define $\models$ )

Answer 2

He aquí otra forma de demostrar que el modelo vacío no satisface ambas $\varphi$ y $\lnot \varphi$ cuando $\text{FV}(\varphi) = \varnothing$ . Los modelos vacíos son complicados, vale la pena volver a la definición de $\models$ al trabajar con ellos.

En concreto, utilizo la siguiente definición:

$$M \models \varphi \;\;\text{if and only if}\;\; M, v \models \varphi \; \text{for all valuations $ v $ of the free variables of $ \varphi $}$$

Sea $M$ ser un modelo; puede estar vacío o no.

Sea $\varphi$ ser un wff; puede estar cerrado o no.

Sea $[\varphi]$ sea el conjunto de todas las asignaciones de $\mathrm{FV}(\varphi)$ al dominio de $M$ en el que $\varphi$ retenciones.

$\varphi$ es una tautología si y sólo si $[\varphi]$ es igual a $(\mathrm{FV}(\varphi) \to M)$ el conjunto de todas las asignaciones sobre sus variables libres.

Supongamos que $M$ está vacía.

Si $\varphi$ contiene alguna variable libre, entonces $[\varphi]$ estará vacío, pero $(\text{FV}(\varphi) \to M)$ también estará vacío, por lo que $\varphi$ será cierto. Tenga en cuenta que $\text{FV}(\lnot \varphi) = \text{FV}(\varphi)$ .

Supongamos que $\varphi$ está cerrado. Esto significa que hay un único mapa, la asignación vacía, en $(\text{FV}(\varphi) \to M)$ . $\varphi$ se mantiene o fracasa en $(M, \varepsilon)$ con $\varepsilon$ siendo la asignación vacía.

Como no puede aguantar y fallar a la vez, es imposible que $M, \varepsilon \models \varphi$ y $M, \varepsilon \models \lnot \varphi$ sea verdadera y, por tanto, imposible para $M \models \varphi$ y $M \models \lnot \varphi$ que ambos sean ciertos.