Calcular $\chi(\mathbb{C}\mathrm{P}^2)$.

Question

Necesito calcular $\chi(\mathbb{C}\mathrm{P}^2)$ usando técnicas de topología diferencial. No puedo pensar en ninguna teoremas que son particularmente útiles para este tipo de cálculos, así que creo que voy a tener que encontrar un campo de vectores en $\mathbb{C}\mathrm{P}^2$ aislado con ceros y calcular el índice del vector de campo acerca de estos ceros. Mi primera idea para encontrar un campo vectorial aislado con ceros fue para recordar la diffeomorphism $\mathbb{C}\mathrm{P}^2 \cong S^5/\sim$ donde $(z^1,z^2,z^3) \sim (u^1,u^2,u^3)$ si y sólo si existe $w \in S^1$$(z^1,z^2,z^3) = (wu^1,wu^2,wu^3)$. Entonces bastaría con encontrar un campo de vectores en $S^5$, que desciende a un campo de vectores en $S^5/\sim$ aislado con ceros. Sin embargo, he tenido algunas dificultades con este método de trabajo, así que tenía la esperanza de que alguien pudiera ayudarme a salir de aquí.

Edit 1: debo añadir que mientras estoy limitado a las herramientas de la topología diferencial para este problema, no tengo que seguir el esquema que tengo hasta el momento; es decir, que se puede encontrar un campo de vectores en $\mathbb{C}\mathrm{P}^2$ aislado con ceros y calcular su característica de Euler a partir de allí, de todos modos (el vector de campo no tiene que venir de $S^5$).

Edit 2: yo también soy no se limita al cálculo de la característica de Euler directamente de un campo vectorial aislado con ceros. Por ejemplo, puedo usar cosas como la asignación de Gauss.

Answer 1

He aquí una manera bastante explícita, conseguir sus manos en un campo de vectores en $\mathbb{C}P^2$ aislado con ceros. Se extiende muy bien a todos los $\mathbb{C}P^n$s en el siguiente sentido: en Primer lugar, se ha aislado $0$s precisamente en los puntos de la forma $[0:0:...:1:0:...:0]$. En segundo lugar, en $\mathbb{C}P^1 = S^2$, es el campo vectorial dado por el giro de las $S^2$ sobre un eje y tomando el vector de velocidad de campo. Tercero, el campo de vectores dado en $\mathbb{C}P^n$ es una extensión de la misma "agradable" dada a una adecuada $\mathbb{C}P^k\subseteq \mathbb{C}P^n$ (dado por el primer $k+1$ coordenadas homogéneas).

Considere la posibilidad de la $S^1$ acción en $\mathbb{C}P^n$ dada por $$z*[z_0:z_1:z_2:...:z_n] = [z_0:zz_1:z^2z_2:...:z^nz_n],$$ where we think of $z\in S^1$ as a unit complex number. To be clear, the power of $z$ on he $k$th homogeneous coordinate is $k$.

Permite averiguar los puntos fijos. En primer lugar, es obvio que cada uno de los puntos donde la única homogénea de coordenadas es $1$ y todos los demás se $0$ es un punto fijo. Así que vamos a mostrar estos son los únicos por contradicción.

Supongamos que tenemos un punto fijo con al menos 2 distinto de cero de las coordenadas, $z_i$$z_j$. Entonces, no tomarse la molestia de escribir las otras coordenadas, obtenemos $[z^i z_i: z^j z_j] = [z_i,z_j]$. Equivalentemente, $[z^{i-j} \frac{z_i}{z_j}:1] = [\frac{z_i}{z_j}:1]$$z^{i-j}\frac{z_i}{z_j} = \frac{z_i}{z_j}$. Desde $z_i\neq 0$, esto implica $z^{i-j} = 1$. Pero desde $i\neq j$, esto no es cierto de todas las $z\in S^1$, dando una contradicción.

Finalmente, para hacer esto en un campo de vectores $X$, tomar el vector de velocidad de campo de esta acción. Más específicamente, definir $X(p) = \frac{d}{dt}|_{t=0} e^{it}p$. Entonces, vamos a tener $X(p) = 0$ fib $p$ es un punto fijo de la acción, por lo $X(p)$ ha aislado a $0$s.