Un anillo noetheriano (conmutativo) $A$ se llama universalmente catenaria si cada $A$ -de tipo finito es catenaria. Si se quiere saber si $A$ es universalmente catenaria, entonces esta definición sugiere comprobar cada $A$ -de tipo finito. Dado que la catenaridad se conserva al tomar cocientes, basta con comprobar cada álgebra polinómica sobre $A$ en un número finito de indeterminaciones. Esto sigue siendo un montón de álgebras, pero afortunadamente el siguiente resultado reduce la tarea a la comprobación de una sola álgebra.
Teorema (Ratliff): Un anillo noetheriano $A$ es universalmente catenaria si y sólo si el álgebra polinómica $A[X]$ en $A$ en una indeterminada es catenaria.
De nuevo, dado que la catenariedad se conserva al tomar cocientes, en el teorema anterior se puede sustituir $A[X]$ por cualquier álgebra polinómica sobre $A$ en un número finito y estrictamente positivo de indeterminaciones. Cabe preguntarse si existen otras "álgebras de prueba para la catenaridad universal", es decir $A$ -algebras $B$ tal que $A$ es universalmente catenaria si y sólo si $B$ es catenaria. Un candidato interesante y natural sería el álgebra de Laurent $A[X,X^{-1}]$ en $A$ en una indeterminada. Si se trata efectivamente de un "álgebra de prueba", entonces se deduce fácilmente que toda álgebra sobre $A$ de un monoide libre de torsión, cancelable y finitamente generado diferente de $0$ tiene la misma propiedad.
Así pues, me gustaría plantear la siguiente pregunta (equivalente a la anterior mediante el Teorema de Ratliff).
Pregunta: Supongamos que el álgebra de Laurent $A[X,X^{-1}]$ sobre un anillo noetheriano $A$ en una indeterminada es catenaria. Es entonces el álgebra polinómica $A[X]$ en $A$ ¿también en una catenaria indeterminada?
