conmutación linealmente independiente $2\times 2$ matrices complejas (Hoffman Kunzze, Álgebra lineal, 6.5.2)

Question

La pregunta real es:

Sea $\mathcal{F}$ sea una familia conmutada de $3\times 3$ matrices complejas. Cuántas matrices linealmente independientes pueden $\mathcal{F}$ ¿Qué pasa con el $n\times n$ ¿Caso? (Hoffman Kunzze, Álgebra lineal, 6.5.2)

No tengo ni idea de cómo ir directamente a $n\times n$ .. Por lo tanto, pensé que iba a tratar de $2\times 2$ y $3\times 3$ y luego generalizar.

Para $2\times 2$ Sé que la base de $\mathcal{M_2}=\{2\times 2 ~complex ~ matrices\}$ es $ \left( \begin{array}{cccc} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{array} \right),\left( \begin{array}{cccc} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{array} \right),\left( \begin{array}{cccc} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{array} \right) ,\left( \begin{array}{cccc} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{array} \right) $

Entonces, lo que estaba pensando es si puedo comprobar qué matrices conmutan en esta conexión, esto sería los conjuntos linealmente independientes conmutantes de $2\times 2$ matrices ( esta es mi suposición no muy segura)

tenemos $ \left( \begin{array}{cccc} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{array} \right)\left( \begin{array}{cccc} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{array} \right)= \left( \begin{array}{cccc} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{array} \right)$ pero, $ \left( \begin{array}{cccc} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{array} \right)\left( \begin{array}{cccc} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{array} \right)=\left( \begin{array}{cccc} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{array} \right)$

no quiero escribir todas las otras combinaciones, pero, yo escribiría sólo matrices conmutativas

$\left( \begin{array}{cccc} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{array} \right)\left( \begin{array}{cccc} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{array} \right)=\left( \begin{array}{cccc} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{array} \right)$ y $\left( \begin{array}{cccc} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{array} \right)\left( \begin{array}{cccc} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{array} \right)=\left( \begin{array}{cccc} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{array} \right)$

Por lo tanto, creo que estos dos elementos deben ser linealmente independientes en el conjunto de conmutación $2\times 2$ matrices.

Espero hacer lo mismo para el general $n\times n$ pero esto sería engorroso..

Por lo tanto, estaría agradecido si alguien me puede ayudar a resolver esto en detalle ... al menos para $2\times 2$ ...

Gracias.

Answer 1

Por lo que he podido averiguar, parece un problema difícil de delimitar con exactitud, pero sospecho que el libro sólo quiere que te des cuenta de que todas estas matrices serán triangulables simultáneamente. La independencia lineal no cambia al conjugar por una matriz invertible (esto es lo que he aludido en mi comentario anterior), por lo que la dimensión de este espacio es $\leq$ la dimensión de todas las matrices triangulares superiores; que es ...

[Véase también grandes conjuntos de matrices conmutativas linealmente independientes y su relación con un teorema de Schur.

Muy interesante].

Answer 2

He seguido el enlace publicado por Prahlad Vaidyanathan que da una prueba general (simplificada) del teorema de Shcur que da la respuesta exacta para cualquier $n$ .

Basándome en esa prueba, no sé qué podrían haber tenido en mente Hoffman y Kunze para el caso general, porque no es trivial. El caso $n=3$ puede tener una prueba más simple que Hoffman y Kunze tenían en mente pero no he sido capaz de llegar a nada más simple que extraer esa prueba como un caso especial de la prueba simplificada del teorema de Schur.

Escribí la prueba en el caso $n=3$ (que por cierto requería probarlo también para $n=2$ ). El LaTeX implicado era lo suficientemente complicado como para que no haya podido traducirlo a MathJax. Así que lo estoy mostrando como una imagen.

No me habría molestado en hacerlo si no fuera porque Hoffman y Kunze es un clásico tan intemporal que parece que debería haber mejores soluciones disponibles en línea. Esto al menos llena un vacío.

Puede hacer clic en lo siguiente para ampliarlo. Haz clic una vez para que aparezca en su propia ventana y puede que tengas que volver a hacer clic para ampliarla. Pero es de alta resolución que debe ser capaz de leerlo.