Un problema diferencial estocástico lineal

Question

Dado $dY(t) = (a_1(t)Y(t)+a_2(t))dt + b_2(t)dW(t)$ , $Y(0)=Y_0\in R$

donde $a_1,a_2,a_3$ son deterministas, W es un proceso wiener y $f(t)=$ exp $(\int_{0}^{t}a_1(s))ds$

Demostrar que $d(\frac{Y(t)}{f(t)})$ = $\frac{a_2(t)}{f(t)}$ dt + $\frac{b_2(t)}{f(t)}$$ dW(t)$

Mi idea es averiguar cómo $(\frac{a_1(t)Y(t)}{f(t)})$$ dt$ \= $0$ y debería tener la solución.

Answer 1

Así pues, la estocástica consiste en hacer cálculos con funciones que son ruidosas y, por tanto, no diferenciables, y una de las cosas fundamentales que se pierden con ese tipo de funciones es la bonita expresión de la regla de la cadena. Esto puede ser visto como procedente del "hecho" de que $dW = \sqrt{ dt}$ en un cierto sentido fantasioso y por eso tenemos que mantener términos que de otro modo no tendríamos, para tener todo lo que es de primer orden o de medio orden en $dt$ .

Afortunadamente, al menos tenemos esa $d(AB) = A~dB + B~dA + dA~dB$ y podemos confirmar que si $B$ no es estocástica (no tiene ninguna $\sqrt{dt}$ o cualquiera de estos comportamientos ruidosos; es sólo una función normal diferenciable) entonces $dB$ es de primer orden en $dt$ y $dA$ es al menos de medio orden en $dt$ y así $dA~dB = 0$ a ese primer orden. Así que la regla del producto sigue aplicándose normalmente, si uno de los términos no es estocástico.

En este caso tenemos un no estocástico $f$ y estocástico $Y$ con el diferencial, $$d\left(\frac Yf\right) = \frac1f~dY - \frac{df}{f^2}~Y,$$ por este principio. Ahora dada su expresión de que $\ln f$ es la antiderivada de $a_1(t)$ tenemos que $df/f = a_1~dt$ directamente.

Así que no es que $(a_1~Y/f)~dt = 0$ pero si buscas eso, nunca lo encontrarás. Lo que buscas es una cancelación, $$\left(\frac{a_1~Y}{f} -\frac{a_1~Y}{f}\right) dt = 0~dt = 0.$$ Es la única manera de que esto funcione.