Sea $T:R^3 \to R^3$ plano de proyección a línea

Question

Sea $T:R^3 \to R^3$ plano de proyección a línea

Si $T(a,b,c)=(a-c,b,0)$ T es la proyección sobre $xy-$ plano a lo largo de la línea $L=\{ (a,0,a): a \in \mathbb{R} \}$

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La solución que no entiendo es

desde $(a,b,c)=(a-c,b,0)+(c,0,c)$ tenemos $T(a,b,c)=(a-c,b,0)$

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Mi intuición, probablemente errónea, es que los puntos del plano xy se sitúan a lo largo de la línea.

¿Cuál es la forma correcta de visualizar esto? Tal vez me ayude a entender la solución simple.

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Answer 1

Pista:

mirar el problema desde el otro lado. Su transformación $T$ va desde un punto $P=(x,y,z)$ al grano $T(P)=(x-z,y,0)$ por lo que el vector de los dos puntos es $$\vec v=\overline {PT(P)}=P-T(P)=(x-x+z,y-y,z-0)^T=(z,0,z)^T \quad \forall z$$ por lo que la recta que da la transformación es una recta paralela a: $$(x,y,z)^T=(1,0,1)^Tt=(t,0,t)^T$$