Estoy teniendo problemas para acabar con un problema en un viejo nacional de la competencia.
Como dice el título, la pregunta dice le pregunta:
Dado $a,b,c \neq 0,a+b=c$ tal que $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{1}{a+b+c}$,
Encontrar todos los enteros $n$ tal que $\frac{1}{a^n}+\frac{1}{b^n}+\frac{1}{c^n}=\frac{1}{a^n+b^n+c^n}$.
Yo sé que si es cierto para $n$, también es cierto para $-n$ desde $(a^n+b^n+c^n)(\frac{1}{a^n+b^n+c^n})=1$ $(a^n+b^n+c^n)(\frac{1}{a^n}+\frac{1}{b^n}+\frac{1}{c^n})=1$ y la declaración de la siguiente manera para$-n$, ya que podemos hacer la sustitución por $n$. Así me enteré de que $n=-1$ satisface la igualdad.
También sé que no funciona para todos, incluso,$n$. Si $n$ fueron incluso, $(a^n,b^n,c^n)$ eran todos positivos, y Titu del Lema afirma que $\frac{1}{a^n}+\frac{1}{b^n}+\frac{1}{c^n}\geq \frac{9}{a^n+b^n+c^n}$. Por lo tanto $n$ debe ser impar.
También he observado que $(2,-1,1)$ es una solución, y a partir de aquí señalar que esta solución particular que satisface todos los impares $n$.
He estado tratando de demostrar que todas las demás soluciones de satisfacer todos los impares $n$ sin éxito.
Cualquier ayuda sería muy apreciada. Gracias!
