Los datos iniciales positivos en un dominio acotado obligan a que la solución de una ecuación de calor no lineal también sea positiva

Question

Sea $U\subset \mathbb{R}^n$ sea abierta y acotada con frontera suave, y sea $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ tienen derivada acotada y satisfacen $f(0)=0$ . Si $u$ resuelve

\begin{align} u_t - \Delta u &= f(u) \text{ in } U \times (0,\infty)\\ u(x,t) &= 0 \text{ on } \partial U\times (0,\infty) \\ u(x,0) &= u_0(x)\text{ on } U\times \{t=0\} \end{align} donde $u_0(x)\ge 0$ entonces $u\ge 0$ para todos $(x,t) \in U\times (0,\infty)$ .

Sé que el resultado es cierto (a través del principio máximo fuerte) si $f=0$ en $U_T = U\times (0,T)$ para todos $T>0$ Así que me pregunto si el principio máximo también podría ayudar con este problema. Si no es así, no estoy seguro de cómo proceder.

Answer 1

Sí, se puede utilizar el principio de máxima, aunque no estoy seguro de que el argumento sea estándar. Sería algo así Supongamos primero que $f(0)>0$ y $u_0(x) > 0$ para $x \in U$ . Entonces defina

$$T = \sup\big\{\tau>0 \, : \, u(x,t)>0 \text{ for all } (x,t) \in U\times [0,\tau)\big\}.$$

Según nuestras suposiciones $T>0$ . Sólo tenemos que demostrar que $T=\infty$ . Supongamos por el contrario que $T<\infty$ . Entonces $u$ alcanza su mínimo en $U\times [0,T]$ en un punto $(x,T)$ donde $u(x,T)=0$ . Por lo tanto

$$f(0)=u_t(x,T) - \Delta u(x,T)\leq 0.$$

Esto es una contradicción si $f(0)>0$ .

El resto de la demostración se reduce a reducir el problema al caso en que $f(0)>0$ y $u_0>0$ . Deberías probar a introducir un pequeño parámetro $\varepsilon>0$ y haciendo una pequeña perturbación de $u$ . Por ejemplo, $u_\varepsilon(x) = u(x) + \alpha\varepsilon - \varepsilon \exp(\beta x_1)$ debería funcionar para constantes elegidas adecuadamente $\alpha$ y $\beta$ .