Los valores que usted llama "esperados" son más exactamente los valores que esperaríamos si las filas y columnas de la tabla de contingencia fueran independientes. (La lógica es la siguiente: si las $i^{\text{th}}$ fila tiene un $\frac{R_i}{N}$ fracción de los valores, y el $j^{\text{th}}$ tiene una columna $\frac{C_j}{N}$ fracción de los valores, y estos son independientes entonces esperamos un $\frac{R_i}{N} \cdot \frac{C_j}{N}$ fracción de los valores del $(i,j)$ celda. Esto corresponde a un recuento esperado de $\frac{R_i}{N} \cdot \frac{C_j}{N} \cdot N = \frac{R_i \cdot C_j}{N}$ .)
Por tanto, si los valores "observados" se acercan a los valores "esperados", significa que los datos que vemos en realidad son coherentes con lo que esperaríamos ver si tuviéramos independencia. Por tanto, no se descarta la hipótesis nula.
¿Por qué "ninguna diferencia" corresponde a "independiente"? Más concretamente, "ninguna diferencia entre las dos filas "corresponde a "independencia entre filas y columnas ".
La hipótesis nula dice "no hay diferencia de preferencia entre los dos géneros". Así, por ejemplo, el suceso "un espectador aleatorio es hombre" y el suceso "un espectador aleatorio prefiere Varados "son independientes: saber que el espectador aleatorio es un hombre no aporta ninguna información sobre sus preferencias.
Notas al margen:
- No estoy seguro de por qué te queda claro que de $\chi^2 = \sum_i \frac{O_i^2}{E_i} - N$ al ser pequeño, concluimos que $O_i$ (los valores observados) se aproximan a $E_i$ (los valores esperados). Es la conclusión correcta. Pero es más fácil verlo a partir de la fórmula equivalente $\chi^2 = \sum_i \frac{(O_i - E_i)^2}{E_i}$ : si éste es pequeño, entonces cada $(O_i - E_i)^2$ debe ser pequeño.
- Una corrección - cuando no rechazamos la hipótesis nula, no concluimos que las filas y columnas son independiente. Simplemente decimos "esto no es prueba suficiente para concluir que son no independiente".
