Demostrar que $\forall n\geq2,\;\exists \text{unique} \; t\in N$ tal que $1+2+\ldots t < n \leq 1+2+3\ldots (1+t)$

Question

Sea $\forall n\geq 2, \;P(n)$ sea la afirmación de que $\exists \; t\in N$ tal que $1+2+\ldots t < n \leq 1+2+3\ldots (1+t)$

es decir, $P(n)$ es verdadera si $\exists \; t\in N$ tal que $\frac{(t)(t+1)}{2} < n \leq \frac{(t+1)(t+2)}{2}$

$P(2)$ es cierto toma $t=1$

Supongamos que $P(n)$ es cierto $\rightarrow \exists\; t_{n}$ tal que

$$\frac{(t_n)(t_n+1)}{2} < n \leq \frac{(t_n+1)(t_n+2)}{2}$$

Buscamos $t_{n+1}$ que satisfaga $P(n+1)$

Caso $1$ : $$n<\frac{(t_n+1)(t_n+2)}{2}$$

en este caso $t_{k+1}=t_k$ hace el trabajo ya que

$$\frac{(t_n)(t_n+1)}{2} < n+1 \leq \frac{(t_n+1)(t_n+2)}{2}$$

Caso $2$ : $$n=\frac{(t_n+1)(t_n+2)}{2}\rightarrow \frac{(t_n+1)(t_n+2)}{2} < n+1 \leq \frac{(t_n+1)(t_n+2)}{2} + (t_n +2)$$

$$\frac{(t_n+1)(t_n+2)}{2} < n+1\leq \frac{(t_n+2)(t_n+3)}{2}$$

así que en este caso $t_{n+1}=t_n + 1$ hace el trabajo.

Ahora la parte de la singularidad:

Supongamos, $\exists t_1, t_2 \in N$ tal que para algún $n\geq 2$ que tenemos,

$$\frac{(t_i)(t_i+1)}{2} < n \leq \frac{(t_i+1)(t_i+2)}{2} \; \; i\in [2]$$

Quieres mostrar : $t_1 = t_2$

Debido al pedido en $N$ si $t_1 \neq t_2 \rightarrow t_1 < t_2$ o $t_2 < t_1$

WLOG, asumir $t_1<t_2\rightarrow t_2 = t_1 + k \; \text{for some} \; k\in N$

Necesito ayuda para proceder desde aquí

Será mejor incluir la unicidad de $t$ en $P(n)$ ¿en sí?

Answer 1

Inducción en $n$ no es tu mejor opción. Es más fácil de probar por inducción en $t$ que $T_t:=\sum_{k=1}^tk$ es una secuencia estrictamente creciente en $\Bbb N$ . Dado que cualquier secuencia de este tipo contiene elementos arbitrariamente grandes (en particular $T_t\ge t$ ), para cualquier $n\in\Bbb N$ hay al menos un $t\in\Bbb N$ con $n\le T_{t+1}$ . Por lo tanto, existe un $t$ de donde $n\not\le T_{t-1+1}\implies T_t<n\le T_{t+1}$ .