Transformación de secuencias acotadas con los mismos límites

Question

Sea $(a_{n,k}: n,k \ge 1)$ y $(b_{n,k}: n,k\ge 1)$ sean reales no negativos con la propiedad de que:

• $\lim_{n\to \infty}\sum_{k=1}^\infty a_{n,k}=\lim_{n\to \infty}\sum_{k=1}^\infty b_{n,k}=1$ ;

• para cada $k\ge 1$ , $\lim_{n\to \infty}a_{n,k}=\lim_{n\to \infty}b_{n,k}=0$ .

(Implícitamente, cada límite y cada suma infinita están bien definidos).

Elija ahora una sucesión real acotada $(x_k: k\ge 1)$ y asumir que $(n_t: t\ge 1)$ es una sucesión creciente de enteros positivos tal que ambos límites $$ L_1:=\lim_{t\to \infty} \sum_{k=1}^\infty a_{n_t,k}x_k \quad \text{ and }\quad L_2:=\lim_{t\to \infty} \sum_{k=1}^\infty b_{n_t,k}x_k $$ existe.

Pregunta. ¿Es cierto que $L_1=L_2$ ?

---

Intento. Utilizando la hipótesis de que la secuencia $x$ está acotada y la segunda propiedad de las balas, para cada $\varepsilon>0$ y enteros $K>0$ existe un número entero positivo $n_0=n_0(\varepsilon, K)$ tal que $$ \forall n\ge n_0, \quad \max\left\{ \left|\sum_{k< K}a_{n,k}x_k\right|, \left|\sum_{k< K}a_{n,k}x_k\right| \right\} \le \varepsilon $$ Además, las propiedades de la viñeta implican que $$ \lim_{n\to \infty}\sum_{k\ge K} (a_{n,k}-b_{n,k})=0. $$

Supongamos que $x\neq 0$ Por lo tanto $\|x\|:=\sup_n|x_n|\neq 0$ . Ahora, arregla $\varepsilon>0$ y un número entero $K>0$ y observe que $$ \left|\sum_{k=1}^\infty a_{n_t,k}x_k-\sum_{k=1}^\infty b_{n_t,k}x_k\right| $$ tiene un límite superior, para todo $t\ge n_0(\varepsilon,K)$ por $$ 2\varepsilon+\left|\sum_{k\ge K}(a_{n_t,k}-b_{n_t,k})x_k\right|\le 2\varepsilon+\|x\|\cdot \sum_{k\ge K}|a_{n_t,k}-b_{n_t,k}| $$ ¿Es cierto que esta última serie es absolutamente convergente a $0$ como $t\to \infty$ ? Si la respuesta es afirmativa, probablemente me estoy perdiendo algo obvio.

Answer 1

Es falso. El contraejemplo:

Para cada $n\ge 1$ , dejemos que $e_n$ sea la secuencia que está constantemente $0$ excepto en el $n$ posición en la que se encuentra $1$ .

Establecer $A:=(a_{n,k}: n,k\ge 1)$ como sigue: la secuencia de secuencias $((a_{n,k}: k\ge 1): n\ge 1)$ es $(e_1,e_3,e_3,e_5,e_5,e_7,e_7, \ldots)$ .

Del mismo modo, establece $B:=(b_{n,k}: n,k\ge 1)$ de modo que la secuencia de secuencias $((b_{n,k}: k\ge 1): n\ge 1)$ es $(e_2,e_2,e_4,e_4,e_6,e_6,\ldots)$ .

Fijar $x=(1,0,1,0,1,0,\ldots)$ . Entonces $Ax$ es la secuencia constante $1$ y $Bx$ es la secuencia constante $0$ .