Si hubiera un lago que ocupara $8$ cuadrados, y la anchura/altura de un cuadrado era $1km$ tendría una superficie de $8km^2$ . ¿Y si la balanza fuera $0.5km$ - la anchura/altura de un cuadrado es sólo $0.5km$ ¿significaría eso que el área del lago será $4km^2$ o $2km^2$ ?
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Oli
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Si se multiplican las dimensiones lineales por $k$ se multiplica el área por $k^2$ . Aquí, si he entendido bien la pregunta, estás multiplicando las dimensiones lineales por $0.5$ . La superficie se multiplica por $(0.5)^2$ que es $0.25$ . La superficie resultante es $2$ .
En este caso, podemos argumentar de forma más sencilla. Cada uno de los $8$ cuadraditos tiene área $(0.5)^2$ por lo que el área total es $8(0.5)^2$ .
FrenzY DT.
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Leon Katsnelson
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Un argumento más complicado sólo para complementar...
Si tomas cualquier forma en $\mathbb{R}^n$ que tiene área, y escalas las coordenadas por $\lambda_1,...,\lambda_n$ respectivamente, entonces el área se escalará en $\lambda_1 \cdots \lambda_n$ . Esto se deduce del teorema del cambio de variables, ya que el jacobiano de $\phi(x) = (\lambda_1 x_1,...,\lambda_n x_n)$ es $J_\phi (x) = \lambda_1 \cdots \lambda_n$ .
En su ejemplo, la forma está en $\mathbb{R}^2$ y tienes $\lambda_1 = \lambda_2 = \frac{1}{2}$ . Por lo tanto, la nueva área es $(\frac{1}{2})^2$ veces el área original, es decir $2 \, \mathrm{km}^2$ .
Esto sirve para cualquier forma, por supuesto.
